Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3）

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在拋物線位于第四象限的部分上運動，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標和四邊形ABPC的最大面積．
（3）直線l經過A、C兩點，點Q在拋物線位于y軸左側的部分上運動，直線m經過點B和點Q，是否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：如圖1，連接BC，過P作y軸的平行線，交BC于點M，交x軸于點H，

在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，

∴A點坐標為（﹣1，0），

∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，

∴S△ABC= ABOC= ×4×3=6，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直線BC解析式為y=x﹣3，

設P點坐標為（x，x2﹣2x﹣3），則M點坐標為（x，x﹣3），

∵P點在第四限，

∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△PBC= PMOH+ PMHB= PM（OH+HB）= PMOB= PM，

∴當PM有最大值時，△PBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，

∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，PMmax= ，則S△PBC= × = ，

此時P點坐標為（ ，﹣ ），S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+ = ，

即當P點坐標為（ ，﹣ ），四邊形ABPC的面積最大，最大面積為

（3）

解：①當點Q在x軸下方時，如圖2，設直線m交y軸于點N，交直線l于點G，

則∠AGB=∠GNC+∠GCN，

當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB，

又∠AGB+∠CGB=180°，

∴∠AGB=∠CGB=90°，

∴∠ACO=∠OBN，

在Rt△AOC和Rt△NOB中

∴Rt△AOC≌Rt△NOB（ASA），

∴ON=OA=1，

∴N點坐標為（0，﹣1），

設直線m解析式為y=kx+d，把B、N兩點坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線m解析式為y= x﹣1；

②當點Q在x軸上方時，此時直線m與①中的直線m關于x軸對稱，

∴解析式為y=﹣ x+1；

綜上可知存在滿足條件的直線m，其解析式為y= x﹣1或y=﹣ x+1

【解析】（1）由B、C兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）連接BC，則△ABC的面積是不變的，過P作PM∥y軸，交BC于點M，設出P點坐標，可表示出PM的長，可知當PM取最大值時△PBC的面積最大，利用二次函數的性質可求得P點的坐標及四邊形ABPC的最大面積；（3）設直線m與y軸交于點N，交直線l于點G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以當△AGB和△NGC相似時，必有∠AGB=∠CGB=90°，則可證得△AOC≌△NOB，可求得ON的長，可求出N點坐標，利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式．