Question

【題目】已知拋物線y=x2﹣6x+9與直線y=x+3交于A，B兩點（點A在點B的左側），拋物線的頂點為C，直線y=x+3與x軸交于點D．

（Ⅰ）求拋物線的頂點C的坐標及A，B兩點的坐標；

（Ⅱ）將拋物線y=x2﹣6x+9向上平移1個單位長度，再向左平移t（t＞0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點E在△DAC內，求t的取值范圍；

（Ⅲ）點P（m，n）（﹣3＜m＜1）是拋物線y=x2﹣6x+9上一點，當△PAB的面積是△ABC面積的2倍時，求m，n的值．

Answer 1

【答案】（I）C（3，0），B（1，4）A（6，9）；（II）＜t＜5；（III）

【解析】分析：（Ⅰ）將拋物線的一般式配方為頂點式即可求出點C的坐標，聯立拋物線與直線的解析式即可求出A、B的坐標．

（Ⅱ）由題意可知：新拋物線的頂點坐標為（3﹣t，1），然后求出直線AC的解析式后，將點E的坐標分別代入直線AC與AD的解析式中即可求出t的值，從而可知新拋物線的頂點E在△DAC內，求t的取值范圍．

（Ⅲ）直線AB與y軸交于點F，連接CF，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥x軸于點N，交DB于點G，由直線y=x+3與x軸交于點D，與y軸交于點F，得D（﹣3，0），F（0，3），易得CF⊥AB，△PAB的面積是△ABC面積的2倍，所以ABPM=ABCF，PM=2CF=6，從而可求出PG=12，利用點G在直線y=x+3上，P（m，n），所以G（m，m+3），所以PG=n﹣（m+3），所以n=m+15，由于P（m，n）在拋物線y=x2﹣6x+9上，聯立方程從而可求出m、n的值．

詳解：（I）∵y=x2﹣6x+9=（x﹣3）2，∴頂點坐標為（3，0）．

聯立，

解得：或；

（II）由題意可知：新拋物線的頂點坐標為（3﹣t，1），設直線AC的解析式為y=kx+b

將A（1，4），C（3，0）代入y=kx+b中，∴，

解得：，

∴直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

當點E在直線AC上時，﹣2（3﹣t）+6=1，解得：t=．

當點E在直線AD上時span>，（3﹣t）+3=1，解得：t=5，

∴當點E在△DAC內時，＜t＜5；

（III）如圖，直線AB與y軸交于點F，連接CF，過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥x軸于點N，交DB于點G．

由直線y=x+3與x軸交于點D，與y軸交于點F，

得D（﹣3，0），F（0，3），∴OD=OF=3．

∵∠FOD=90°，∴∠OFD=∠ODF=45°．

∵OC=OF=3，∠FOC=90°，

∴CF==3，∠OFC=∠OCF=45°，

∴∠DFC=∠DFO+∠OFC=45°+45°=90°，∴CF⊥AB．

∵△PAB的面積是△ABC面積的2倍，∴ABPM=ABCF，

∴PM=2CF=6．

∵PN⊥x軸，∠FDO=45°，∴∠DGN=45°，∴∠PGM=45°．

在Rt△PGM中，sin∠PGM=， ∴PG===12．

∵點G在直線y=x+3上，P（m，n）， ∴G（m，m+3）．

∵﹣3＜m＜1，∴點P在點G的上方，∴PG=n﹣（m+3），∴n=m+15．

∵P（m，n）在拋物線y=x2﹣6x+9上，

∴m2﹣6m+9=n，∴m2﹣6m+9=m+15，解得：m=．

∵﹣3＜m＜1，∴m=不合題意，舍去，∴m=，∴n=m+15=．