Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，點P是這個菱形內部或邊上的一點．若以P，B，C為頂點的三角形是等腰三角形，則P，A（P，A兩點不重合）兩點間的最短距離為cm．

Answer 1

【答案】10 ﹣10
【解析】解：連接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，
∴∠A=∠C=60°，
∴△ABD，△BCD都是等邊三角形，①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上（在菱形的邊及其內部）的點滿足題意，此時就轉化為了“直線外一點與直線上所有點連線的線段中垂線段最短”，即當點P與點D重合時，PA最小，最小值PA=10；②若以邊PB為底，∠PCB為頂角時，以點C為圓心，BC長為半徑作圓，與AC相交于一點，則弧BD（除點B外）上的所有點都滿足△PBC是等腰三角形，當點P在AC上時，AP最小，最小值為10 ﹣10；③若以邊PC為底，∠PBC為頂角，以點B為圓心，BC為半徑作圓，則弧AC上的點A與點D均滿足△PBC為等腰三角形，當點P與點A重合時，PA最小，顯然不滿足題意，故此種情況不存在；
綜上所述，PD的最小值為10 ﹣10（cm）；
故答案為：10 ﹣1．

分三種情形討論①若以邊BC為底．②若以邊PB為底．③若以邊PC為底．分別求出PD的最小值，即可判斷．