Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分別為AD，CD的中點，連接BE，BF，延長BE交CD的延長線于點M．

（1）求證：四邊形ABCD為矩形；

（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的長度．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先求出四邊形ABCD是平行四邊形，再根據矩形的判定得出即可；
（2）求出DM=AB=6，根據矩形的性質得出CD=AB=6，求出CF，根據勾股定理求出BF即可．

（1）證明：∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=∠ADC，
∴∠A=90°，
∴四邊形ABCD是矩形；

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠M，
∵E為AD的中點，
∴AE=DE．
在△ABE和△DME中

,

∴△ABE≌△DME（AAS），
∴AB=DM=6，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC=AB=DM=6，∠C=90°，
∵F為CD的中點，
∴CF=CD=3，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF=.