Question

【題目】已知：在⊙O中，弦AC⊥弦BD,垂足為H,連接BC,過點D作DE⊥BC于點E，DE交AC于點F.

(1)如圖1，求證：BD平分∠ADF;

(2)如圖2，連接OC，若OC平分∠ACB,求證：AC=BC;

(3)如圖3，在（2）的條件下，連接AB,過點D作DN∥AC交⊙O于點N,若tan∠ADB=,AB=3,求DN的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）9.

【解析】試題分析:(1)先根據同角的余角相等可證得: ∠ACB＝∠BDE,再根據同弧所對的圓周角相等可得: ∠ACB=∠ADB,所以∠BDE=∠ADB,所以BD平分∠ADF,(2)連接OB,OA,則

△AOC,△BOC是等腰三角形,再證△AOC≌△BOC,根據全等三角形的性質可得:AC=BC,

(3)根據∠ACB=∠ADB, tan∠ADB=,所以tan∠ACB=,所以,可設BH=3x,CH=4x,由勾股定理可得:BC=5x,則AC=5x,所以AH=x,根據勾股定理可得: ,因為AB=,所以可得: ,,解得:x=3,所以DH=4,CH=12,BH=9,BC=15,

所以BD=13,由相似三角形性質可得:BN=,再根據勾股定理解得: DN=9.

試題解析:(1) 因為弦AC⊥弦BD, DE⊥BC于點E,

所以∠ACB+∠DBE＝∠BDE+∠DBE=90°,

所以∠ACB＝∠BDE,

又因為∠ACB=∠ADB,

所以∠BDE=∠ADB,

所以BD平分∠ADF,

(2) 連接OB,OA,則△AOC,△BOC是等腰三角形,

所以∠OCB=∠OBC, ∠OAC=∠OCA,

又因為OC平分∠ACB,

所以∠OCB==∠OCA,

所以∠OBC=∠OAC,

在△AOC和△BOC中,

,

所以△AOC≌△BOC,

所以AC=BC,

(3)因為∠ACB=∠ADB, tan∠ADB=,

所以tan∠ACB=,所以,可設BH=3x,CH=4x,由勾股定理得:BC=5x,

則AC=5x,所以AH=x,

因為AB=,根據勾股定理得: ,

所以得: ,,解得:x=3,

所以BC=15,

設等腰△ACB底邊AB上的高為h,由勾股定理可得: ,

根據相似三角形性質可得: ,即,解得BN=,

根據勾股定理可得:DN==.