Question

如圖,在平面直角坐標系中,已知點坐標為（2,4）,直線x=2與軸相交于點,連結,拋物線y=x從點沿方向平移,與直線x=2交于點,頂點到點時停止移動．

（1）求線段所在直線的函數解析式;
（2）設拋物線頂點的橫坐標為,
①用的代數式表示點的坐標;
②當為何值時,線段最短;
（3）當線段最短時,相應的拋物線上是否存在點,使△的面積與△的面積相等,若存在,請求出點的坐標;若不存在,請說明理由．

Answer 1

（1）OA所在直線的函數解析式為y=2x;
（2）①點P的坐標是（2,m²﹣2m+4）;②當m=1時,PB最短;
（3）拋物線上存在點,Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）,Q₃（2,3）,使△QMA與△PMA的面積相等,理由見解析．

試題分析:（1）根據A點的坐標,用待定系數法即可求出直線OA的解析式;
（2）①由于M點在直線OA上,可根據直線OA的解析式來表示出M點的坐標,因為M點是平移后拋物線的頂點,因此可用頂點式二次函數通式來設出這個二次函數的解析式,P的橫坐標為2,將其代入拋物線的解析式中即可得出P點的坐標;
②PB的長,實際就是P點的縱坐標,因此可根據其縱坐標的表達式來求出PB最短時,對應的m的值;
（3）根據（2）中確定的m值可知:M、P點的坐標都已確定,因此AM的長為定值,若要使△QMA的面積與△PMA的面積相等,那么Q點到AM的距離和P到AM的距離應該相等,因此可分兩種情況進行討論:
①當Q在直線OA下方時,可過P作直線OA的平行線交y軸于C,那么平行線上的點到OA的距離可相等,因此Q點必落在直線PC上,可先求出直線PC的解析式,然后利用拋物線的解析式,看得出的方程是否有解,如果沒有則說明不存在這樣的Q點,如果有解,得出的x的值就是Q點的橫坐標,可將其代入拋物線的解析式中得出Q點的坐標;
②當Q在直線OA上方時,同①類似,可先找出P關于A點的對稱點D,過D作直線OA的平行線交y軸于E,那么直線DE上的點到AM的距離都等于點P到AM上的距離,然后按①的方法進行求解即可．
試題解析:（1）設OA所在直線的函數解析式為y=kx,
∵A（2,4）,
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直線的函數解析式為y=2x;
（2）①∵頂點M的橫坐標為m,且在線段OA上移動,
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴頂點M的坐標為（m,2m）．
∴拋物線函數解析式為y=（x﹣m）²+2m．
∴當x=2時,y=（2﹣m）²+2m=m²﹣2m+4（0≤m≤2）．
∴點P的坐標是（2,m²﹣2m+4）;
②∵PB=m²﹣2m+4=（m﹣1）²+3,
又∵0≤m≤2,
∴當m=1時,PB最短;
（3）當線段PB最短時,此時拋物線的解析式為y=（x﹣1）²+2
即y=x²﹣2x+3．
假設在拋物線上存在點Q,使S_△QMA=S_△PMA．
設點Q的坐標為（x,x²﹣2x+3）．
①點Q落在直線OA的下方時,過P作直線PC∥AO,交y軸于點C,
∵PB=3,AB=4,
∴AP=1,
∴OC=1,
∴C點的坐標是（0,﹣1）．
∵點P的坐標是（2,3）,
∴直線PC的函數解析式為y=2x﹣1．
∵S_△QMA=S_△PMA,
∴點Q落在直線y=2x﹣1上．
∴x²﹣2x+3=2x﹣1．
解得x₁=2,x₂=2,
即點Q（2,3）．
∴點Q與點P重合．
∴此時拋物線上存在點Q（2,3）,使△QMA與△APM的面積相等．
②當點Q落在直線OA的上方時,
作點P關于點A的對稱稱點D,過D作直線DE∥AO,交y軸于點E,
∵AP=1,
∴EO=DA=1,
∴E、D的坐標分別是（0,1）,（2,5）,
∴直線DE函數解析式為y=2x+1．
∵S_△QMA=S_△PMA,
∴點Q落在直線y=2x+1上．
∴x²﹣2x+3=2x+1．
解得:x₁=2+,x₂=2﹣．
代入y=2x+1得:y₁=5+2,y₂=5﹣2．
∴此時拋物線上存在點Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）
使△QMA與△PMA的面積相等．
綜上所述,拋物線上存在點,Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）,Q₃（2,3）,使△QMA與△PMA的面積相等．
．
考點:二次函數綜合題．