Question

【題目】如圖，AH是圓O的直徑，AE平分∠FAH，交⊙O于點E，過點E的直線FG⊥AF，垂足為F，B為直徑OH上一點，點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上．

（1）求證：直線FG是⊙O的切線；

（2）若AD=8，EB=5，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的直徑為．

【解析】

（1）連接OE，證明FG是⊙O的切線，只要證明∠OEF=90°即可；

（2）先求出CE，利用角平分線得出EF=BE=5，進而求出CF，即可利用勾股定理求出AB，最后用勾股定理即可得出結論．

（1）如圖1，連接OE，

∵OA=OE，

∴∠EAO=∠AEO，

∵AE平分∠FAH，

∴∠EAO=∠FAE，

∴∠FAE=∠AEO，

∴AF∥OE，

∴∠AFE+∠OEF=180°，

∵AF⊥GF，

∴∠AFE=∠OEF=90°，

∴OE⊥GF，

∵點E在圓上，OE是半徑，

∴GF是⊙O的切線．

（2）設AB=x，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=x，BC=AD=8，

∴CE=BC﹣BE=3，

∵AE是∠BAF的角平分線，BE⊥AB，EF⊥AF，

∴EF=BE=5，

在Rt△CEF中，根據勾股定理得，CF=4，

∴DF=CD﹣CF=x﹣4，

在Rt△ABE和Rt△AFE中， ，

∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），

∴AF=AB=x，

在Rt△ADF中，x2﹣（x﹣4）2=64，

∴x=10，

∴AB=10，

設⊙O的半徑為r，

∴OB=10﹣r，

在Rt△BOE中，r2﹣（10﹣r）2=25，

∴r= ，

∴⊙O的直徑為．