Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3過等腰Rt△BOC的兩頂點B、C，且與x軸交于點A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸與直線BC相交于點M，點N為x軸上一點，當以M，N，B為頂點的三角形與△ABC相似時，求BN的長度；

（3）P為線段BC上方的拋物線上的一個動點，P到直線BC的距離是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值的大小以及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）3或（3）

【解析】

（1）令x=0，可得y=3，可得C點坐標為（0，3），根據等腰直角三角形的性質可得B點坐標為（3，0），即可利用待定系數法求得該拋物線的解析式．

（2）已知了B、C的坐標，易求得BC的長和直線BC的解析式，聯立拋物線的對稱軸即可得到點M的坐標，從而求得BM的長，可設出點BN=x，若以M，N，B為頂點的三角形與△ABC相似，由于∠CBA=∠MBN，則有兩種情況需要考慮：①△MBN∽△CBA，②△MBN∽△ABC；根據上述兩種情況所得不同的比例線段即可求得點N的坐標，進而可求出BN的長．

（3）可設經過P與直線BC平行的直線解析式為y=﹣x+n，聯立方程y=﹣x2+2x+3，根據判別式為0得到n，從而得到經過P與直線BC平行的直線解析式，進一步得到點P的坐標，再根據待定系數法求得經過點P與直線BC垂直的直線解析式，聯立直線BC的解析式得到交點坐標，再根據兩點間的距離公式求解即可．

（1）令x=0，則y=3，∴C（0，3），∴OC=3．

又∵Rt△BOC是等腰直角三角形，∴B（3，0），將A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得：，解得，∴y=﹣x2+2x+3．

（2）拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，由B（3，0），C（0，3），得直線BC解析式為：y=﹣x+3；

∵對稱軸x=1與直線BC：y=﹣x+3相交于點M，∴M為（1，2）；

可設BN的長為x．

當△MNB∽△ACB時，∴=，即=，解得：x=3；

當△MNB∽△CAB時，∴==，解得：x=，所以BN的長為3或．

（3）設經過P與直線BC平行的直線解析式為y=﹣x+n，聯立得：，﹣x+n=﹣x2+2x+3，x2﹣3x+n﹣3=0，△=9﹣4（n﹣3）=0，解得：n=，∴P到直線BC的距離存在最大值時，經過P與直線BC平行的直線解析式為y=﹣x+，則x2﹣3x+=0，解得：x=，y=﹣+=，∴點P的坐標為（），則經過點P與直線BC垂直的直線解析式為y=x+t，則=+t，解得：t=，故經過點P與直線BC垂直的直線解析式為y=x+，聯立可得，解得：，則P到直線BC的距離最大值為=．