Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓分別交AC，BC邊于點D，E，連接BD，
（1）求證：點E是$\widehat{BD}$的中點；
（2）當BC=12，且AD：CD=1：2時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）要證明點E是$\widehat{BD}$的中點只要證明BE=DE即可，根據題意可以求得BE=DE；
（2）根據題意可以求得AC和AB的長，從而可以求得⊙O的半徑．

解答 （1）證明：連接AE，DE
∵AB是直徑，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=EC，
∵∠CDB=90°，DE是斜邊BC的中線，
∴DE=EB，
∴$\widehat{ED}=\widehat{EB}$，
即點E是$\widehat{BD}$的中點；
（2）設AD=x，則CD=2x，
∴AB=AC=3x，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD²=（3x）²-x²=8x²，
在Rt△CDB中，
（2x）²+8x²=12²，
∴$x=2\sqrt{3}$，
∴$OA=\frac{3}{2}x=3\sqrt{3}$，
即⊙O的半徑是3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓心角、弦、弧的關系、等腰三角形的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．