Question

【題目】已知二次函數的圖象與y軸的交點為C，與x軸正半軸的交點為A，且tan∠ACO=．

（1）求二次函數的解析式；

（2）P為二次函數圖象的頂點，Q為其對稱軸上的一點，QC平分∠PQO，求Q點坐標；

（3）是否存在實數、（），當時，y的取值范圍為？若存在，直接寫在、的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）Q（，）或（，）；（3），．

【解析】

試題（1）由tan∠ACO=，求出OA的值，即可得出A點的坐標；然后把A點的坐標代入，求出b的值，即可得出二次函數的解析式．

（2）由Q為拋物線對稱軸上的一點，設點Q的坐標為（，n）；然后根據∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，據此求出n的值，進而得出Q點坐標即可．

（3）根據題意，分三種情況：①當時；②當時；③當時；然后根據二次函數的最值的求法，求出滿足題意的實數、（），當時，y的取值范圍為即可．

試題解析：（1）如圖1，連接AC，

，

∵二次函數的圖象與y軸的交點為C，∴C點的坐標為（0，﹣4），∵tan∠ACO=，∴，又∵OC=4，∴OA=1，∴A點的坐標為（1，0），把A（1，0）代入，可得0=1+b﹣4，解得b=3，∴二次函數的解析式是：；

（2）如圖2，

，

∵，

∴拋物線的對稱軸是：，∵Q為拋物線對稱軸上的一點，∴設點Q的坐標為（，n），∵拋物線的對稱軸平行于y軸，∴∠CQP=∠OCQ，又∵∠OQC=∠CQP，∴∠OQC=∠OCQ，∴OQ=OC，∴，∴，解得n=，∴Q點坐標是（，）或（，）．

（3）①當時，二次函數單調遞減，∵y的取值范圍為，∴，由，解得=﹣3，﹣2，2，由，解得=﹣3，﹣2，2，∵，∴；

②當時，

Ⅰ、當時，可得，∵y的取值范圍為，

∴，由①，可得，由②，可得=﹣3，﹣2，2，∵，，∴沒有滿足題意的、；

Ⅱ、當時，可得，∵y的取值范圍為，

∴，解得：，∵≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3，∴沒有滿足題意的、．

③當時，二次函數單調遞增，∵y的取值范圍為，∴，①×﹣②×，可得：，∵≠0，∴=0，∴③，把③代入①，可得：，∵，∴，∴，∵，∴沒有滿足題意的、．

綜上，可得：，，當時，y的取值范圍為．