Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，），過點的直線的參數方程為（為參數）.

（Ⅰ）求曲線的普通方程，并說明它表示什么曲線；

（Ⅱ）設曲線與直線分別交于，兩點，若，，成等比數列，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，曲線表示焦點在上的橢圓.(Ⅱ)2.

【解析】分析：（Ⅰ）利用平方關系消去參數，結合的范圍即可得曲線表示焦點在上的橢圓；（Ⅱ）將將直線的參數方程代入橢圓方程，

詳解：（Ⅰ）曲線的普通方程為，

，

曲線表示焦點在上的橢圓.

（Ⅱ）將直線的參數方程（為參數）代入橢圓方程，設對應的參數分別為、，根據直線中參數的幾何意義，由題意得，再結合韋達定理即可得結果.

整理得，

即，

，

設對應的參數分別為、，

那么，

由的幾何意義知，，，

于是，，，

若,，成等比數列，則有，

即，解得，

所以的值為.