Question

【題目】如圖，已知四邊形和均為直角梯形，，且，平面平面，．

（1）求證：平面；

（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意可證，所以以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量，由證之即可；（2）求出平面的法向量，由(1)知的法向量為，由向量公式可求二面角的余弦值.

試題解析： （1）證明：∵平面平面，平面平面，，平面，

∴平面，

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，

設平面的法向量為，

，，

∴取，得，

∵，∴，∴，

∵平面，∴平面．

（2）設平面的法向量，，，

則取，得，

由（1）得平面的法向量為，

設平面和平面所成銳二面角的平面角為，則

．

∴平面和平面所成銳二面角的余弦值為．