Question

如圖，直角三角形如果以BC邊為軸旋轉一周，那么所形成的圓錐的體積為16π，以AC邊為軸旋轉一周，那么所形成的圓錐的體積為12π，那么如果以AB為軸旋轉一周，那么所形成的幾何圖形的體積是多少？

Answer 1

考點：規則立體圖形的體積

專題：立體圖形的認識與計算

分析：直角三角形如果以BC邊為軸旋轉一周，那么所形成的圓錐的底面半徑為AC，高為BC；以AC邊為軸旋轉一周，那么所形成的圓錐的底面半徑為BC，高為AC；由此利用圓錐的體積公式即可得出兩個等式，進而即可求出直角三角形的三條邊的長度；以AB為軸旋轉一周，那么所形成的幾何體相當于兩個底面相等的圓錐疊在一起，從而利用圓錐的體積公式即可求解．

解答： 解：設BC=a，AC=b，
那么以BC邊為軸旋轉一周，那么所形成的圓錐的體積為

ab2π

3

，
以AC邊為軸旋轉一周，那么所形成的圓錐的體積為

a2bπ

3

，
由此可得：

ab2=48 a2b=36

，兩個等式相除可以得到

b

a

=

4

3

，
將這個比例式代入原方程可以得到：

a=3 b=4

，
根據勾股定可以得出這個直角三角形的斜邊的長度是5，那么斜邊上的高就是2.4，
因此以AB為軸旋轉一周，那么所形成的幾何體相當于兩個底面相等的圓錐疊在一起，
底面半徑為2.4，高的和為5，
所以體積是

2.42×5×π

3

=9.6π．
答：所形成的幾何圖形的體積是9.6π．

點評：此題主要考查圓錐體的體積的計算方法，關鍵是明確圓錐的底面半徑和高的長度．