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如圖,四棱錐的底面是邊長為的菱形,,平面,.

（1）求直線PB與平面PDC所成的角的正切值;
（2）求二面角A－PB－D的大小.

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如圖四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，設E為BC的中點，二面角P-DE-A為45°．
（1 ） 求點A到平面PDE的距離；
（2 ） 在PA上確定一點F，使BF∥平面PDE；
（3 ） 求平面PDE與平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小（用反三角函數表示）．

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如圖四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，設E為BC的中點，二面角P-DE-A為45°．
（1 ） 求點A到平面PDE的距離；
（2 ） 在PA上確定一點F，使BF∥平面PDE；
（3 ） 求平面PDE與平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小（用反三角函數表示）．

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三、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

B

B

D

B

D

A

B

C

B

四、填空題

13．2     14. 31    15.     16.  2.

三、解答題

17．17．解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

（Ⅱ）由解得

∴ 的單調遞增區間為。

18．（Ⅰ）解：設“從甲盒內取出的2個球均為紅球”為事件，“從乙盒內取出的2個球均為紅球”為事件．由于事件相互獨立，且

，，

故取出的4個球均為紅球的概率是

．

（Ⅱ）解：設“從甲盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球；從乙盒內取出的2個紅球為黑球”為事件，“從甲盒內取出的2個球均為黑球；從乙盒內取出的2個球中，1個是紅球，1個是黑球”為事件．由于事件互斥，且

，．

故取出的4個紅球中恰有4個紅球的概率為

．

19．（Ⅰ）取DC的中點E.

∵ABCD是邊長為的菱形,，∴BE⊥CD.

∵平面, BE平面，∴ BE.

∴BE⊥平面PDC.∠BPE為求直線PB與平面PDC所成的角. 

∵BE=，PE=,∴==.  

（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，因為ABCD是菱形，所以AO⊥BD.

∵平面, AO平面，

∴ PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB.

故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.

∵AO=，OF=，∴=.

20．解：（1）令得所求增區間為，。

（2）要使當時恒成立，只要當時 。

由（1）知

當時，是增函數，；

當時，是減函數，；

當時，是增函數，

由，因此故。

21. 證明：由是關于x的方程的兩根得

。

，

是等差數列。

（2）由（1）知

。

。

又符合上式， 。

（3） ①

  ②

①―②得 。

。

22． （1）∵

∴ 

令，∴或

若，

在點附近，當時，；當時，

∴是函數的極小值點，極小值為；

在點附近，當時，；當時，

∴是函數的極大值點，極大值為

若，易知，

是函數的極大值點，極大值為；

是函數的極小值點，極小值為

（2）若在上至少存在一點使得成立，

則在上至少存在一解，即在上至少存在一解

由（1）知，

當時，函數在區間上遞增，且極小值為

∴此時在上至少存在一解； 

當時，函數在區間上遞增，在上遞減，

∴要滿足條件應有函數的極大值，即

綜上，實數的取值范圍為或。