Question

如圖四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，設E為BC的中點，二面角P-DE-A為45°．
（1 ） 求點A到平面PDE的距離；
（2 ） 在PA上確定一點F，使BF∥平面PDE；
（3 ） 求平面PDE與平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小（用反三角函數表示）．

Answer 1

解：由題意知
（1）∵DE為正△BCD的中線
∴DE⊥BC
∵AD∥BC
∴DE⊥AD，
又∵PA⊥平面ABCD且DE⊆面ABCD
∴DE⊥PD
即∠PDA為二面角P-DE-A的平面角
又∵∠PDA=45°且PA=AD
∴△PAD為等腰直角三角形
作AH⊥PD于H，則DE⊥AH
∴AH⊥平面PDE
又∵PA=AD=2
∴AH=
即點A到平面PDE的距離為．
（2）取PA的中點為F，連接BF，HF
∵F，H分別是PA，PD的中點
∴在△PAD內，HF∥AD且HF=
又∵EB∥AD且EB=
∴EB∥HF且EB=HF
∴四邊形FHEB為平行四邊形
∴BF∥EH且EH⊆面PDE
∴BF∥平面PDE．
（3）設AB∩DE=M，連PM，作HO⊥PM于O，連AO
∵AH⊥面PDM，且PM⊆面PDM
∴AH⊥PM
又∵HO⊥PM
∴PM⊥面AOH，且AO⊆面AOH
∴PM⊥AO
∴∠AOH為所求二面角的平面角，
∵AO=
∴
即
故平面PDE與平面PAB所成的不大于直二面角的二面角的大小．
分析：（1）要想求點到面的距離，必須過點找到底面的垂線，即AH⊥面PDE，那么AH為點A到平面PDE的距離，然后再求線段的長度即可；（2）根據線面平行的判定定理可知，只有在面內找到一條線與已知直線平行，即BF∥EH，線線平行從而達到線面平行的目的；（3）根據定義先作出二面角的平面角，即∠AOH為平面PDE與平面PAB二面角的平面角，然后解三角形即可得到角的大小．
點評：本題主要考查點到面的距離，線面平行的證明及二面角大小的求法，還是有一定的難度．