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已知A（3，0）及雙曲線E：

x2

9

-

y2

16

=1，若雙曲線E的右支上的點Q到點B（m，0）（m≥3）距離的最小值為|AB|．
（1）求m的取值范圍，并指出當m變化時B的軌跡C
（2）如（圖1），軌跡C上是否存在一點D，它在直線y=

4

3

x上的射影為P，使得

AP

•

OD

=

OP

•

PD

？若存在試指出雙曲線E的右焦點F分向量

AD

所成的比；若不存在，請說明理由．
（3）（理）當m為定值時，過軌跡C上的點B（m，0）作一條直線l與雙曲線E的右支交于不同的兩點（圖2），且與直線y=

4

3

x，y=-

4

3

x分別交于M、N兩點，求△MON周長的最小值．

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已知直線l的方向向量為=（1，1），且過直線l₁：2x+y+1=0和直線l₂：x-2y+3=0的交點．
（1）求直線l的方程；
（2）若點P（x，y）是曲線y=x²-lnx上任意一點，求點P到直線l的距離的最小值．

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已知對任意的平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉θ角，得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉θ角得到點P
①已知平面內的點A（1，2），B，把點B繞點A沿逆時針方向旋轉后得到點P，求點P的坐標
②設平面內曲線C上的每一點繞逆時針方向旋轉后得到的點的軌跡是曲線x²-y²=1，求原來曲線C的方程．

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已知：向量，，曲線上一點P到點F（3，0）的距離為6，M為PF的中點，O為坐標原點，則|OM|=（ ）
A．1
B．2
C．5
D．1或5

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已知二階矩陣M=（）有特征值λ₁=2及對應的一個特征向量．
（Ⅰ）求矩陣M；
（II）若，求．
（2）已知直線l：（t為參數），曲線C₁：  （θ為參數）．
（Ⅰ）設l與C₁相交于A，B兩點，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲線C₁上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線C₂C，設點P是曲線C₂上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．
（3）已知函數f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（Ⅰ）當m=5時，求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范圍．

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一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．

1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.

二、填空題：本大題共4個小題，每小題4分，共16分．

13．3； 14．-4； 15．1； 16．．

三、解答題：本大題共6個小題，共74分．解答要寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

17．解：（Ⅰ）∵l₁∥l₂，，

∴，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∴，

∴．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵且，

∴，∴，當且僅當時取＂＝＂．??????????? 8分

∵，∴，?????????????????????????????????????????? 10分

∴，當且僅當時取＂＝＂．

故△ABC面積取最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三個球中數字最大者為3．

①三次取球均出現最大數字為3的概率；??????????????????????????????????????? 1分

②三次取球中有2次出現最大數字3的概率；???????????????????? 3分

③三次取球中僅有1次出現最大數字3的概率．????????????????? 5分

∴P(ξ=3)=P₁＋P₂＋P₃=．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）在ξ＝k時, 利用（Ⅰ）的原理可知：

（k=1、2、3、4）．???????? 8分

則ξ的概率分布列為：

ξ

1

2

3

4

P

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ξ的數學期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．???????????????????????????????? 12分

19．（Ⅰ）證明：∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∴AA₁＝A₁C₁＝C₁C＝CA＝1，∴△AA₁B是等邊三角形，設O是AA₁的中點，連接BO，則BO⊥AA₁． 2分

∵側面ABB₁A₁⊥AA₁C₁C，∴BO⊥平面AA₁C₁C，菱形AA₁C₁C面積為，知C到AA₁的距離為，，∴△AA₁C₁是等邊三角形，且C₁O⊥AA₁，又C₁O∩BO=O．

∴AA₁⊥面BOC₁，又BC₁Ì面BOC₁．∴AA₁⊥BC₁．???????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC₁、OB兩兩垂直，以O為原點，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，．則，，，．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

設是平面ABC的一個法向量，

則即

令，則．設A₁到平面ABC的距離為d．

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一個法向量是，又平面ACC₁的一個法向量．   9分

∴．???????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴二面角B－AC－C₁的余弦值是．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：（Ⅰ），對稱軸方程為，故函數在[0,1]上為增函數，∴．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

當時，．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

∵            ①

∴       ②

②-①得，即，?????????????????????????????????????????????????? 4分

則，∴數列是以為首項，為公比的等比數列．

∴，∴．?????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）∵，∴．

∵???????????????????????????????????????????????????????? 7分

可知：當時，；當時，；當時，．

即?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

可知存在正整數或6，使得對于任意的正整數n，都有成立．???????????? 12分

21．解：（Ⅰ）設，，，

，，，

，，

．∵，

∴，∴，∴．??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

則N(c，0)，M(0，c)，所以，

∴，則，．

∴橢圓的方程為．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）∵圓O與直線l相切，則，即,????????????????????????????????? 5分

由消去y得．

∵直線l與橢圓交于兩個不同點，設，

，

∴，，???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

∴，

由，，．?????????????????? 8分

．???????????????????????????????????????? 9分

（或）．

設，則，，，

令，則，

∴在時單調遞增，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴S關于μ在區間單調遞增，，，

∴．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

（或，

∴S關于u在區間單調遞增，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∵，，．）????????????????????????????????????????????????????????? 12分

22．解：（Ⅰ）因為，，則，     1分

當時，；當時，．

∴在上單調遞增；在上單調遞減，

∴函數在處取得極大值．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∵函數在區間（其中）上存在極值，

∴解得．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）不等式，即為，?????????????????????????????????????????? 4分

記，∴，??????? 5分

令，則，∵，∴，在上遞增，

∴，從而，故在上也單調遞增，

∴，

∴．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，??????????? 8分

令則，????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴，

，

，

………

，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

疊加得：

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

則，

∴.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分