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我們用符號(hào)“||”定義過一些數(shù)字概念，如實(shí)數(shù)絕對(duì)值的概念：對(duì)于a∈R，|a|=

a，a＞0 0，a=0 -a，a＜0

，可以證明，對(duì)任意a，b∈R，不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|成立．
（1）再寫出兩個(gè)這類數(shù)學(xué)概念的定義及其成立的不等式；
（2）對(duì)于集合A，定義“|A|”為集合A中元素的個(gè)數(shù)，對(duì)任意的集合A、B有類似的不等式成立嗎？如果有，寫出一個(gè)，并指出等號(hào)成立的條件（不必說明理由）；如果沒有，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)有集合A、B，若|A|=15，|B|≥15，若從A中任取兩上元素，恰好都是B中元素的概率p≥

1

5

，求|A∩B|的取值范圍．

已知a，b，c是正常數(shù)，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），
（1）求證：

a2

x

+

b2

y

+

c2

z

≥

(a+b+c)2

x+y+z

，并指出等號(hào)成立的條件；
（2）利用（1）的結(jié)論：
①求函數(shù)f(x)=

1

x

+

4

1-2x

+

25

1+x

(x∈(0，

1

2

))的最小值，并求出相應(yīng)的x值；
②設(shè)a、b、c∈（0，1），求證：

a

1-bc2

+

b

1-ca2

+

c

1-ab2

≥

a+b+c

1-abc

．

（2007•上海模擬）（1）若直角三角形兩直角邊長(zhǎng)之和為12，求其周長(zhǎng)p的最小值；
（2）若三角形有一個(gè)內(nèi)角為arccos

7

9

，周長(zhǎng)為定值p，求面積S的最大值；
（3）為了研究邊長(zhǎng)a，b，c滿足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面積是否存在最大值，現(xiàn)有解法如下：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（a+b）²-c²][c²-（a-b）²]=-c⁴+2（a²+b²）c²-（a²-b²）²=-[c²-（a²+b²）]²+4a²b²
而-[c²-（a²+b²）]²≤0，a²≤81，b²≤64，則S≤36，但是，其中等號(hào)成立的條件是c²=a²+b²，a=9，b=8，于是c²=145與3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面積不存在最大值．
以上解答是否正確？若不正確，請(qǐng)你給出正確的答案．
（注：16S²=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）稱為三角形面積的海倫公式，它已經(jīng)被證明是正確的）