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設二次函數f（x）=x²+x+c（c＞0）．若f（x）=0有兩個實數根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求正實數c的取值范圍；
（Ⅱ）求x₂-x₁的取值范圍；
（Ⅲ）如果存在一個實數m，使得f（m）＜0，證明：m+1＞x₂．

設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），已知不論α，β為何實數恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求證：c≥3a；
（Ⅲ）若a＞0，函數f（sinα）的最大值為8，求b的值．

設二次函數f（x）=x²+ax+a，方程f（x）-x=0的兩根x₁和x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1．求實數a的取值范圍．

（2014•長寧區一模）設二次函數f(x)=(k-4)x2+kx

(k∈R)

，對任意實數x，有f（x）≤6x+2恒成立；數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數f（x）的解析式和值域；
（2）證明：當an∈(0，

1

2

)時，數列{a_n}在該區間上是遞增數列；
（3）已知a1=

1

3

，是否存在非零整數λ，使得對任意n∈N^*，都有log3(

1

1 2 -a1

)+log3(

1

1 2 -a2

)+…+log3(

1

1 2 -an

)＞-1+（-1）^n-12λ+nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由．