Question

設二次函數f（x）=x²+x+c（c＞0）．若f（x）=0有兩個實數根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求正實數c的取值范圍；
（Ⅱ）求x₂-x₁的取值范圍；
（Ⅲ）如果存在一個實數m，使得f（m）＜0，證明：m+1＞x₂．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用方程有兩個不相等的實數根，通過判別式大于0，直接求正實數c的取值范圍；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）利用韋達定理，結合x₁＜x₂，x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

，利用c的范圍，求出x₂-x₁的取值范圍；
（Ⅲ）利用二次函數圖象的開口方向，結合f（m）＜0，利用x₂-x₁∈（0，1），通過放縮即可證明m+1＞x₂．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由x²+x+c=0有兩個實數根x₁，x₂（x₁＜x₂）及c＞0得

△=12-4c＞0 c＞0

可知：0＜c＜

1

4

…（2分）
（Ⅱ）依根與系數的關系，得：

x1+x2=-1 x1x2=c

…（4分）
又x₂-x₁＞0，所以，x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

1-4c

，
∵0＜c＜

1

4

，∴1＞

1-4c

＞0
∴0＜x₂-x₁＜1…（8分）
∴故x₂-x₁∈（0，1）
（Ⅲ）證：∵f（m）＜0且拋物線f（x）=x²+x+c的開口向上
∴x₁＜m＜x₂…（10分）
可知：m-x₁＞0
而m+1＞m+（x₂-x₁）=（m-x₁）+x₂＞x₂…（14分）

點評：本題是中檔題，考查二次函數的根與系數的關系，注意韋達定理的應用，放縮法證明不等式的方法，考查計算能力．