題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分9分）
已知函數(shù)
。
（Ⅰ）當
時，求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求的極大值；
（Ⅲ）求證：對于任意
，函數(shù)
在
上恒成立。
（本小題滿分9分）
已知函數(shù)
。
（Ⅰ）當
時，求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求的極大值；
（Ⅲ）求證：對于任意
，函數(shù)
在
上恒成立。
。
時，求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間；的極大值；
，函數(shù)
在
上恒成立。已知函數(shù)
．（
）
（1）若
在區(qū)間
上單調(diào)遞增，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若在區(qū)間
上，函數(shù)的圖象恒在曲線
下方，求的取值范圍．
【解析】第一問中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則
在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到
，進而得到范圍；第二問中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于
在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。
解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上恒成立． …………3分
即，而當
時，
，故
．
…………5分
所以
．
…………6分
（2）令
，定義域為
．
在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．
∵
…………9分
① 若
，令
，得極值點
，
，
當
，即
時，在（
，+∞)上有
，此時
在區(qū)間
上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有
，不合題意；
當
，即
時，同理可知，在區(qū)間上遞增，
有
，也不合題意；
…………11分
② 若
，則有
，此時在區(qū)間上恒有
，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；
要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足
，
由此求得的范圍是
． …………13分
綜合①②可知，當
時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．
（t為常數(shù)）．注意事項：
１．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.
２．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名等寫在三相應(yīng)的位置．
３．本卷為答題卷，要求將所有試題答案或解答寫在答題卷指定位置上．
４．請用
考 生 填 寫 座 位
號 碼 的 末 兩 位
題 號
一
二
三
四
17
18
19
20
21
22
23
得 分
一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的;每小題選出答案后，請用2B鉛筆把就機讀卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
D
C
C
B
D
B
A
A
得分
評卷人
二．填空題(請把答案填在對應(yīng)題號的橫線上)
13. 
. 14．
.
15．
. 16. 
.
三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置.）
17.( 本題滿分12分)
解：（Ⅰ）∵
，∴ 
（3分），又∵ 
是鈍角，
∴ 
（或
）；...............6分
（Ⅱ）由余弦定理得，
，..........9分
∴ 
.................12分，
18．（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)兩個紅球為
，三個白球為
，從中任意選取2個球，所有可能的結(jié)果如下：（），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
），（
）共有20種，………………………………………………………（5分）
其中紅球、白球都有的結(jié)果是（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）共有12種，
所以紅球、白球都有的概率為
；…（8分）
（Ⅱ）∵“紅球個數(shù)不少于白球個數(shù)”包含兩類：兩紅，一紅一白，
∴由（Ⅰ）知中獎的概率為
．……………………（12分）
19．（本題滿分12分）
證明：（Ⅰ）∵ 
∥
，
又
，
，
∴ ∥
；........4分
（Ⅱ）在三棱柱
中，
∵ 
，
∴ 四邊形
，
，
都是矩形，
又 ∵ 
，
，
，
∴ 
，又 ∵ 
為
中點，
在
中，
，同理，
．
∴ 
，∴ 
，.....8分
在
中，
，
在
中，
，
∴ 
，∴ 
．....10分
又 
，
∴ 
．..........12分
解法二：（Ⅱ）以
為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)
，
，
，
（6分），則 
，
，
，
∴ 
，
∴
，∴
（8分），
∴ 
，
∴ 
，∴（10分）
又 
，∴ ．....12分
20.（本題滿分14分）
解；（Ⅰ）設(shè)圓
：
....①，將
和
兩點坐標代入①得，
........................②（2分）
又 ∵ 圓心
在直線
上，則 
...........③（3分）
聯(lián)立②、③解之
（4分），將代入
中，得 
，
故 圓的方程為 
（5分）．
（Ⅱ）∵直線
與
的傾斜角互補，又點在圓上，且
為圓上相異兩點，∴ 它們的傾斜角都不為
，∴它們的斜率互為相反數(shù)（6分），
設(shè)直線的方程為 
，則直線的方程為
（7分），
聯(lián)立 
，.............（9分）
（或 
（9分））
解之：
，
，
（11分），
（或 解之
，
（11分））
同理可得，
，
（12分），
（或 
（12分））
∴ 
............14分
（或
...........14分）
21.（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）當
=
9時
則
......2分
令
解得：
或
........3分
故函數(shù)
在區(qū)間（－
，－１）上是增函數(shù)，
在區(qū)間（３，＋）上也是增函數(shù)．..5分
（Ⅱ）
函數(shù)
在（－，＋）上為增函數(shù)，∴對于
，
０恒成立，
故：
＝36－12
0，解得：3.........8分
所以3時，函數(shù)在（－，＋）上為增函數(shù)．......9分
（Ⅲ）在（Ⅱ）條件下函數(shù)在（－，＋）上為增函數(shù)，所以， 函數(shù)在區(qū)間
上是增函數(shù)，故有：
，∵
，∴
，從而方程x=至少有兩個不相等的實數(shù)根，即方程
至少有兩個不相等的實數(shù)根．.............11分
又方程有一根為0，故：方程
至少有一個不為0的根.
∴
，解得：
且
0............13分
又∵3
∴ ３．...........14分
四．選考題(從下列兩道解答題中任選一道作答，作答時，請注明題號；若多做，則按首做題計入總分，滿分10分; 請將答題的過程寫在答題卷中指定的位置）
你選做_______題(請在橫線上注明題號)
解（或證明）：
22. 證明：∵是
的切線，直線
是的割線
∴ 
，（2分）
又 ∵ 
，∴
，∴ 
（5分），
∵ 
，
∴ △
與△
兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等（7分），
∴ △∽△（8分）
∴ 
（10分）．
23. 解：（Ⅰ）直線
的參數(shù)方程是
，即 
..5分
（Ⅱ）設(shè)
，則
，
∵
，
（7分），
∴ 
，即圓的極坐標方程為
．.........10分
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