Question

（本小題滿分9分）

已知函數(shù)。

 

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）求的極大值；

（Ⅲ）求證：對于任意，函數(shù)在上恒成立。

 

Answer 1

【答案】

解：定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051813310571878420/SYS201205181332066093841912_DA.files/image001.png">，且

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，令，

解得或。故函數(shù)在，上單調(diào)遞增。        …………2分

（Ⅱ）令，即，

當(dāng)時(shí)，上式化為恒成立。故在上單調(diào)遞增，無極值；

當(dāng)時(shí)，解得或。故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

		1
	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

 

故在處有極大值。

當(dāng)時(shí)，解得或。故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

				1
	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

 

故在處有極大值。     ………………………7分

（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，由（2）可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

故在上的最大值為。

要證函數(shù)在上恒成立

只要證在上的最大值即可。

即證恒成立。

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051813310571878420/SYS201205181332066093841912_DA.files/image014.png">，故。

由此可知，對任意，在上恒成立。      ………………………9分

【解析】略