題目列表(包括答案和解析)
已知
，
(其中
)，函數(shù)
，若直線
是函數(shù)
圖象的一條對稱軸．
(Ⅰ)試求
的值；
(Ⅱ)若函數(shù)
的圖象是由
的圖象的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移
個單位長度得到，求的單調(diào)遞增區(qū)間．
已知
，
(其中
)，函數(shù)
，若直線
是函數(shù)
圖象的一條對稱軸．
(Ⅰ)試求
的值；
(Ⅱ)若函數(shù)
的圖象是由
的圖象的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移
個單位長度得到，求的單調(diào)遞增區(qū)間．
，
(其中
)，函數(shù)
，若直線
是函數(shù)
圖象的一條對稱軸．
的值；
的圖象是由
的圖象的各點的橫坐標伸長到原來的2倍，然后再向左平移
個單位長度得到，求的單調(diào)遞增區(qū)間．已知函數(shù)
，（其中
），若直線
是函數(shù)
圖象的一條對稱軸。
（1）試求
的值；
（2）先列表再作出函數(shù)在區(qū)間
上的圖象．
已知函數(shù)
，（其中
），若直線
是函數(shù)
圖象的一條對稱軸。
（1）試求
的值；
（2）先列表再作出函數(shù)在區(qū)間
上的圖象．
一．選擇題：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空題：
11．
a+
b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14．
15．120º 16．②④
三．解答題：
17．由題設(shè)，得
，
，
，雙曲線為
， …… 2分
直線AB的方程為 
，
……………………… 4分
代入到雙曲線方程得：4x2+20ax
又
，由
得：
12=
，
……………………… 9分
解得a2=1，則b2=3，所以
為所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由題設(shè)可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）
∴ 
……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 當在（－∞，0）上
,在(0,2)上
,在
上,
故
在（-∞0）,上遞增,在(0,2)上遞減,
因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
過P作MN∥B
∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB
又MB
平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角， ………… 6分
設(shè)AA1=a，則AB=
a，AF=
，AP=
，sin∠APF=
所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin
。
………… 9分
（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O(shè)在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=
。
反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐
為正三棱錐，
∴O在平面PBC內(nèi)的射影為
的重心
………… 14分
解法二：（建立空間坐標系）
20．解 (Ⅰ)由
=
3在[a ，b]上為減函數(shù)，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求區(qū)間是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取
1 = 1 ，
2 = 10，可得
(
)不是減函數(shù)；取1 =
，可得()在(0 ， +∞)不是增函數(shù)，所以()不是閉函數(shù)．
………… 10分
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a
，b]，則
故a ， b是方程=
的兩個實根，命題等價于
有兩個不等實根．
………… 13分
當k
時，
解得：
，∴ 
；
當
時，
這時
無解．
所以 k的取值范圍是
．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(1,1)成中心對稱，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
對一切實數(shù)x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
對由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=
，bn=
，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜
=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）
參考答案
一．選擇題：
1．B 2．D 2．B 3．C 4．C 5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D
二．填空題：
11．a+b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14． 15．120º 16．②④
三．解答題：
17．由題設(shè)，得，，，雙曲線為
， …… 2分
直線AB的方程為
，
……………………… 4分
代入到雙曲線方程得：
， ……………………… 6分
又，由得：
，
……………………… 9分
解得
，則
，所以
為所求。……………………… 12分
18．解：（Ⅰ）由題設(shè)可得 f '(x)=3x2+2ax+b， ……………………… 2分
∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）
∴ ……………………… 5分
解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分
（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分
∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,
故在（－∞，0）,上遞增,在(0,2)上遞減,
因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，
……………………… 12分
由f (2)=－5，得c=－1，
∴f（x）=x3－3x2－1 ……………………… 14分
19．：解法一：
(Ⅰ)
過P作MN∥B
∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB
又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。
……………………… 4分
(Ⅱ) 過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，
∵BC⊥平面ABB平面ABB
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角， ………… 6分
設(shè)AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=
所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。
………… 9分
（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O(shè)在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分
所以k=。
反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，
∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心
………… 14分
解法二：（建立空間坐標系）
20．解 (Ⅰ)由=3在[a ，b]上為減函數(shù)，
得
可得a =
?1 ， b = 1 ，∴ 所求區(qū)間是[?1，1]． ………… 5分
(Ⅱ)取1 = 1 ，
2 = 10，可得()不是減函數(shù)；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數(shù)，所以()不是閉函數(shù)．
………… 10分
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a
，b]，則
故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于
有兩個不等實根．
………… 13分
當k時，解得：，∴ ；
當時，這時無解．
所以 k的取值范圍是．
………… 16分
21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關(guān)于點(1,1)成中心對稱，所以
x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2 ………… 3分
對一切實數(shù)x恒成立．得：a=－3，b+c=3，
對由f '(1)=0，得b=3，c=0，
故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x． ………… 7分
(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an (1)
令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分
∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0
(a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=
＜=b1-bn+1＜b1＜1。
………… 14分
（本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）
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