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試判斷下面的證明過程是否正確：

用數學歸納法證明：

證明：（1）當時，左邊＝1，右邊＝1

∴當時命題成立．

（2）假設當時命題成立，即

則當時，需證

由于左端等式是一個以1為首項，公差為3，項數為的等差數列的前項和，其和為

∴式成立，即時，命題成立．根據（1）（2）可知，對一切，命題成立．

試判斷下面的證明過程是否正確：

用數學歸納法證明：

證明：（1）當時，左邊＝1，右邊＝1

∴當時命題成立．

（2）假設當時命題成立，即

則當時，需證

由于左端等式是一個以1為首項，公差為3，項數為的等差數列的前項和，其和為

∴式成立，即時，命題成立．根據（1）（2）可知，對一切，命題成立．

已知一個關于正整數的命題滿足“若時命題成立，則時命題也成立”．有下列判斷：

（1）當時命題不成立，則時命題不成立；

（2）當時命題不成立，則時命題不成立；

（3）當時命題成立，則時命題成立；

（4）當時命題成立，則時命題成立．

其中正確判斷的序號是        ．（寫出所有正確判斷的序號）

 

已知數列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設 (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結論。

解：(Ⅰ)當時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數學歸納法）①當時, ,命題成立;

   ②假設時,命題成立,即,

   則當時,

    即

即

故當時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

 

適當增加條件，使下列各命題成立
（1）若ac²＞bc²則a＞b 且 c≠0．．
（2）若a＞b則ac＜bc 且c＜0．．
（3）若a＞b，c＞d則ac＞bd 且a＞b＞0，c＞d＞0．．
（4）若a≥b，則

1

a

≤

1

b

且ab＞0．．
（5）若a＜b，則

a

＞

b

(n=2，3)且0＜a＜b．
（6）若a＞b，則a-c＞b-d 且c＜d．