設函數f（x）=x²+2lnx，用f'（x）表示f（x）的導函數，g(x)=(x2-

m2

12

)f′(x)，（其中m∈R，且m＞0．）
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若對任意的x₁、x2∈[

1

3

，1]都有f'（x₁）≤g'（x₂）成立，求實數m的取值范圍；
（3）試證明：對任意正數a和正整數n，不等式[f'（a）]ⁿ-2^n-1f'（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）恒成立．

設函數f(x)=x²+2lnx，f′(x)表示f(x)的導函數，（其中m∈R，且m＞0），
(Ⅰ)求f(x)的單調區間；
(Ⅱ)若對任意的x₁，x₂∈，都有f′(x₁)≤g′(x₂)成立，求實數m的取值范圍；
(Ⅲ)試證明：對任意正數a和正整數n，不等式恒成立。