Question

設函數f(x)=x²+2lnx，f′(x)表示f(x)的導函數，（其中m∈R，且m＞0），
(Ⅰ)求f(x)的單調區間；
(Ⅱ)若對任意的x₁，x₂∈，都有f′(x₁)≤g′(x₂)成立，求實數m的取值范圍；
(Ⅲ)試證明：對任意正數a和正整數n，不等式恒成立。

Answer 1

解：(Ⅰ)f（x）的定義域為（0，+∞），
，∴在x∈（0，+∞）恒成立，
故f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無單調遞減區間。
(Ⅱ)依題意，問題轉化為，
令，
首先求在x∈上的最大值，
由于，
當時，，所以在上遞減，
故在上的最大值是，
即；
其次求函數在上的最小值，
∵
，
∴，
令，記，
由知轉化為求函數在上的最小值，
又（當且僅當t=m時，取等號），
(ⅰ)若，
此時由，知，
解得：，
∴；
(ⅱ)若m＞6，函數y=h（t）在上為減函數，
則，
由題意，有恒成立，∴m＞6；
(ⅲ)若，函數y=h（t）在上為增函數，
則，
因此必須，
又由于知，此時m無解；
綜上所述，m的取值范圍是。
 (Ⅲ)問題即證：，
也即證：，
用數學歸納法證明：
(ⅰ)當n=1時，左=0，右=0，顯然不等式成立；
(ⅱ)假設n=k（k≥1）時，原不等式成立，
即，
則n=k+1時，


，
這就是說，n=k+1時，原不等式也成立；
綜上所述，對任意正數a和正整數n，不等式都成立。