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已知函數f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，當x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx（其中e是自然界對數的底，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g(x)=

ln|x|

|x|

，x∈[-e，0)，求證：當a=-1時，f(x)＞g(x)+

1

2

；
（3）是否存在實數a，使得當x∈[-e，0）時，f（x）的最小值是3？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由．

已知數列{a_n}中，a₁=1，且點P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若函數f(n)=

1

n+a1

+

1

n+a2

+

1

n+a3

+…+

1

n+an

(n∈N，且n≥2)，求函數f（n）的最小值；
（3）設bn=

1

an

，Sn表示數列{b_n}的前項和．試問：是否存在關于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對于一切不小于2的自然數n恒成立？若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

已知二次函數f（x）=ax²+bx，f（x+1）為偶函數，函數f（x）的圖象與直線y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）=[f（x）-k]x在（-∞，+∞）上是單調減函數，那么：
①求k的取值范圍；
②是否存在區間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區間[m，n]；若不存在，請說明理由．

已知函數f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)在x=1處取得極值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）設A是曲線y=f（x）上除原點O外的任意一點，過OA的中點且垂直于x軸的直線交曲線于點B，試問：是否存在這樣的點A，使得曲線在點B處的切線與OA平行？若存在，求出點A的坐標；若不存在，說明理由；
（3）設函數g（x）=x²-2ax+a，若對于任意x₁∈R的，總存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求實數a的取值范圍．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁

x2

a2

+

y2

b2

=1以拋物線y2=4

3

x的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線x2=

1

mn

y異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線C_b上，若存在求出函數f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．