Question

已知函數f(x)=

mx

x2+n

(m，n∈R)在x=1處取得極值2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）設A是曲線y=f（x）上除原點O外的任意一點，過OA的中點且垂直于x軸的直線交曲線于點B，試問：是否存在這樣的點A，使得曲線在點B處的切線與OA平行？若存在，求出點A的坐標；若不存在，說明理由；
（3）設函數g（x）=x²-2ax+a，若對于任意x₁∈R的，總存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導數，根據f（x）在x=1處取得極值2列出關于m，n的方程，求出m，n即可求得f（x）的解析式；
（2）由（1）得f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

，對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在滿足條件的點A，再利用曲線在點B處的切線與OA平行，求出點A的坐標，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
（3）令f'（x）=0，得x=-1或x=1，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況列成表格：下面對a進行了分類討論：當a≤-1時，當a≥1時，當-1＜a＜1時，根據題中條件即可得出a的取值范圍．

解答：解：（1）

∵f(x)= mx x2+n ， ∴f′(x)= m(x2+n)-mx•2x (x2+n)2 = mn-mx2 (x2+n)2

（2分）
又f（x）在x=1處取得極值2

∴ f′(1)=0 f(1)=2 即 m(n-1) (1+n)2 =0 m 1+n =2 解得 m=4 n=1 或 m=0 n=-1 (舍去) ∴f(x)= 4x x2+1

（4分）
（2）由（1）得f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

假設存在滿足條件的點A，且A(x0，

4x0

x 2 0 +1

)，則kOA=

4

x 2 0 +1

（5分）

f′( x0 2 )= 4-4( x0 2 )2 [( x0 2 )2+1]2 = 16(4- x 2 0 ) ( x 2 0 +4)2

，
∴5

x

4 0

=4

x

2 0

，∴

x

2 0

=

4

5

，

x

0

=±

2

5

5

（7分）
所以存在滿足條件的點A，此時點A是坐標為(

2 5

5

，

8 5

9

)或(-

2 5

5

，-

8 5

9

)（8分）
（3）f′(x)=

-4(x+1)(x-1)

(x2+1)2

，令f'（x）=0，得x=-1或x=1
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

∴f（x）在x=-1處取得極小值f（-1）=-2，在x=1處取得極大值f（1）=2
又∵x＞0時，f（x）＞0，∴f（x）的最小值為-2（10分）∵對于任意的x₁∈R，總存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁）∴當x∈[-1，1]時，g（x）最小值不大于-2
又g（x）=x²-2ax+a=（x-a）²+a-a²
當a≤-1時，g（x）的最小值為g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2
得a≤-1（11分）
當a≥1時，g（x）最小值為g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
當-1＜a＜1時，g（x）的最小值為g（a）=a-a²
由a-a²≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此時a不存在．（12分）
綜上，a的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）（13分）．

點評：本小題主要考查導數在最大值、最小值問題中的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、函數在某點取得極值的條件等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．