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五名奧運志愿者被隨機地分到四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者，設隨機變量為這五名志愿者中參加崗位服務的人數，則＿

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某大型公益活動從一所名牌大學的四個學院中選出了名學生作為志愿者，參加相關的活
動事宜．學生來源人數如下表：

學院	外語學院	生命科學學院	化工學院	藝術學院
人數

 
（1）若從這名學生中隨機選出兩名，求兩名學生來自同一學院的概率；
（2）現要從這名學生中隨機選出兩名學生向觀眾宣講此次公益活動的主題．設其中來自外語學院的人數為，令，求隨機變量的分布列及數學期望.

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某大型公益活動從一所名牌大學的四個學院中選出了名學生作為志愿者，參加相關的活
動事宜．學生來源人數如下表：

學院	外語學院	生命科學學院	化工學院	藝術學院
人數

 
（1）若從這名學生中隨機選出兩名，求兩名學生來自同一學院的概率；
（2）現要從這名學生中隨機選出兩名學生向觀眾宣講此次公益活動的主題．設其中來自外語學院的人數為，令，求隨機變量的分布列及數學期望.

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五名奧運志愿者被隨機地分到A,B,C,D四個不同的崗位服務，每個崗位至少有一名志愿者，設隨機變量為這五名志愿者中參加A崗位服務的人數，則=（    ）

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1．A      2．C       3．B       4．A      5．C       6．C       7．D      8．C       9．D      10．B

1l．B      12．A

1．解析：，故選A．

2．解析：

       ，∴選C．

3．解析：是增函數 

       故，即

       又

       ，故選B．

4．解析：如圖作出可行域，作直線，平移直線至位置，使其經過點．此時目標函數取得最大值（注意與反號）

由得

       ，故選A

5．解析：設有人投中為事件，則，

       故選C．

6．解析：展開式中能項；

       由，得，故選C．

7．解析：

       由得

，故選D．

8．略

9．解析：由得準線方程，雙曲線準線方程為

       ，解得，

       ，故選D．

10．解析：設正四面體的棱長為2，取中點為，連接，則為與所成的角，在中

，故選B．

11．解析：由題意，則，故選B．

12．解析：由已知，

       為球的直徑

       ，又，

       設，則

       ，

       又由，解得

       ，故選A．

另法：將四面體置于正方休中．

       正方體的對角線長為球的直徑，由此得，然后可得．

二、

13．解析：在上的投影是．

14．解析：，且．

15．解析：，

       由余弦定理為鈍角

       ，即，

       解得．

16．

解析：容易知命題①是錯的，命題②、③都是對的，對于命題④我們考查如圖所示的正方體，設棱長為，顯然與為平面內兩條距離為的平行直線，它們在底面內的射影、仍為兩條距離為的平行直線，但兩平面與卻是相交的．

三、

17．解：（1），

              ，

即，故．

       （2）

              由得．

設邊上的高為，則

．

18．（1）設甲、乙兩人同時參加災區服務為事件，則．

（2）記甲、乙兩人同時參加同一災區服務為事件，那么．

（3）隨機變量可能取得值為1，2，事件“”是指有兩人同時參加災區服務，則，所以．

分布列是

1

2

19．解：（1）平面

              ∵二面角為直二面角，且，

平面              平面．

（2）（法一）連接與高交于，連接是邊長為2的正方形，                  ，

二平面，由三垂線定理逆定理得

是二面角的平面角

由（1）平面，

．

在中，

∴在中，

故二面角等于．

（2）（法二）利用向量法，如圖以之中點為坐標原點建立空間坐標系，則

              ，

              設平面的法向量分別為，則由

              得，而平面的一個法向理

              故所求二面角等于．

20．解：（1）由題設，即

              易知是首項為、公差為2的等差數列，

              ∴通項公式為，

       （2）由題設，，得是以公比為的等比數列．

              由得．

21．解：（1）由題意，由拋物線定義可求得曲線的方程為．

（2）證明：設、的坐標分別為

             若直線有斜率時，其坐標滿足下列方程組：

              ，        

              若沒有斜率時，方程為．

              又．

              ；又，

                          ．

22．（1）解：，于是，

              解得或

              因，故．

（2）證明：已知函數都是奇函數．

所以函數也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形，而．

可知．函數的圖象按向量平移，即得到函數的圖象，故函數的圖象是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形，

（3）證明；在曲線上作取一點，

       由知，過此點的切線方程為

．

令，得，切線與直線交點為．

令，得切線與直線交點為，直線與直線與直線的交點為（1，1）．

從而所圍三角形的面積為        

所以，圍成三角形的面積為定值2．

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