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已知數列滿足（I）求數列的通項公式；

（II）若數列中，前項和為，且證明：

【解析】第一問中，利用，

∴數列{}是以首項a₁+1，公比為2的等比數列，即 

第二問中， 

進一步得到得    即

即是等差數列.

然后結合公式求解。

解：（I）  解法二、，

∴數列{}是以首項a₁+1，公比為2的等比數列，即 

（II）     ………②

由②可得： …………③

③－②，得    即 …………④

又由④可得 …………⑤

⑤－④得

即是等差數列.

     

 

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

 

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

⊙O₁和⊙O₂的極坐標方程分別為，．

⑴把⊙O₁和⊙O₂的極坐標方程化為直角坐標方程；

⑵求經過⊙O₁，⊙O₂交點的直線的直角坐標方程．

【解析】本試題主要是考查了極坐標的返程和直角坐標方程的轉化和簡單的圓冤啊位置關系的運用

（1）中，借助于公式，，將極坐標方程化為普通方程即可。

（2）中，根據上一問中的圓的方程，然后作差得到交線所在的直線的普通方程。

解：以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．

(I)，，由得．所以．

即為⊙O₁的直角坐標方程．

同理為⊙O₂的直角坐標方程．

(II)解法一:由解得，

即⊙O₁，⊙O₂交于點(0,0)和(2,－2)．過交點的直線的直角坐標方程為y=－x．

解法二: 由,兩式相減得－4x-4y=0,即過交點的直線的直角坐標方程為y=－x

 

拋擲一均勻的正方體玩具(各面分別標有數1、2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的數是奇數”，事件B表示“朝上一面的數不超過3”，求P(A+B).

下面給出兩種不同的解法.

解法一：∵P(A)=,P(B)=,

∴P(A+B)=P(A)+P(B)=1.

解法二:A+B這一事件包括4種結果,即出現1,2,3和5,

∴P(A+B)=.

    請你判斷解法一和解法二的正誤.