題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）如圖，已知
平面
，是矩形，
，
，
是
中點(diǎn)，點(diǎn)
在
邊上．
（I）求三棱錐
的體積；
（II）求證：
；
（III）若
平面
，試確定點(diǎn)的位置．
（本題滿分14分）
（理）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和
，且
=1，
.
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）已知定理：“若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，則有
< f’(x)”．若且函數(shù)y=xn+1在(0,+∞)上是凹函數(shù)，試判斷bn與bn+1的大小；
（III）求證：
≤bn<2.
（理）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和
，且
=1，
.
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）已知定理：“若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，則有
< f’(x)”．若且函數(shù)y=xn+1在(0,+∞)上是凹函數(shù)，試判斷bn與bn+1的大小；
（III）求證：≤bn<2.
(文)如圖，|AB|=2，O為AB中點(diǎn)，直線
過B且垂直于AB，過A的動(dòng)直線與交于點(diǎn)C，點(diǎn)M在線段AC上，滿足=.
（I）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（II）若過B點(diǎn)且斜率為- 的直線與軌跡M交于
點(diǎn)P，點(diǎn)Q(t,0)是x軸上任意一點(diǎn)，求當(dāng)ΔBPQ為
銳角三角形時(shí)t的取值范圍．
已知函數(shù)
（I）試判斷函數(shù)
上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）若
對(duì)于
恒成立，求正整數(shù)
的最大值；
（III）求證：
（本小題滿分12分）如圖，已知
平面
，是矩形，
，
，
是
中點(diǎn)，點(diǎn)
在
邊上．
（I）求三棱錐
的體積；
（II）求證：
；
（III）若
平面
，試確定點(diǎn)的位置．
一、選擇題
（1）C （2）B （3）D （4）A （5）B
（6）B （7）B （8）D （9）D （10）A
（11）B （12）C
二、填空題
（13）
（14）－6 （15）
（16）576
三、解答題
（17）（本小題滿分12分）
解：（I）當(dāng)
時(shí)，
。
依條件有：
∴
∴
的單調(diào)增區(qū)間為
6分
（II）設(shè)
∴
∴
∴
依條件令
，即
時(shí)，為偶函數(shù)。 12分
（18）（本小題滿分12分）
解：（I）四件產(chǎn)品逐一取出排成一列共有
種方法，前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的共有
種方法，∴前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的概率為
； 6分
（II）
的所有可能取值為2，3，4，∴的概率分布為
2
3
4
P
∴
12分
（19）（本小題滿分12分）
（I）證明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1。
∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1。
∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影。
∵BC＝CC1，∴四邊形B1BCC1是正方形。
∴BC1⊥B1C。根據(jù)三垂線定理得
AB1⊥BC1 4分
（II）解：設(shè)
，作OP⊥AB1于點(diǎn)P
連結(jié)BP，∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，
∴BO⊥平面AB1C
∴OP是BP在平面AB1C上的射影。
根據(jù)三垂線定理得AB1⊥BP。
∴∠OPB是二面角B－AB1－C的平面角
∵
在Rt△POB中，
∴二面角B－AB1－C的正切值為
8分
（III）解：解法1：∵A1C1∥AC，AC
平面AB1C，
∴A1C1∥平面AB1C。
∴點(diǎn)A1到平面AB1C的距離與點(diǎn)C1到平面AB1C的距離相等。
∵BC1⊥平面AB1C，
∴線段C1O的長(zhǎng)度為點(diǎn)A1到平面AB1C的距離
∴點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為
a 12分
解法2：連結(jié)A1C，有
設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為h。
∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴
?h＝
，
又
∴
，
∴點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為
12分
（20）（本小題滿分12分）
解：（I）若在[0，
）上是增函數(shù)，則
時(shí)
恒成立
即
恒成立
∴
故a的取值范圍是
6分
（II）若
上是增函數(shù)
則
恒成立
即
對(duì)所有的
均成立
得
，與題設(shè)
矛盾。
∴上不是增函數(shù) 12分
（21）（本小題滿分14分）
解：（I）設(shè)E（x，y），則
由已知得
∴
即為點(diǎn)E的軌跡方程。 4分
（II）設(shè)橢圓C的方程為
，過F1的直線為
，P、Q在橢圓C上，
∴
兩式相減，得
①
而
，
代入①得
②
由與圓
相切，得
代入②得
，
而
橢圓C的方程為
9分
（III）假設(shè)存在直線
，設(shè)MN的中點(diǎn)為
由|TM|＝|TN|，∴TP為線段MN的中垂線，其方程為
又設(shè)
相減并由
整理得：
又點(diǎn)P（－4k，2）在橢圓的內(nèi)部
∴
，解之得
，即k不存在
∴不存在直線l滿足題設(shè)條件。 14分
（22）（本小題滿分12分）
解：（I）P2表示從S點(diǎn)到A（或B、C、D），然后再回到S點(diǎn)的概率
所以
；
因?yàn)閺腟點(diǎn)沿SA棱經(jīng)過B或D，然后再回到S點(diǎn)的概率為
，
所以
4分
（II）設(shè)小蟲爬行n米后恰回到S點(diǎn)的概率為Pn，那么
表示爬行n米后恰好沒回到S點(diǎn)的概率，則此時(shí)小蟲必在A（或B、C、D）點(diǎn)
所以
8分
（III）由
從而
所以
12分
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