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（本小題滿分14分）
如圖，設拋物線的準線與軸交于，焦點為；以為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的交點為，延長交拋物線于點，是拋物線上一動點，且M在與之間運動.
（1）當時，求橢圓的方程，
（2）當的邊長恰好是三個連續的自然數時，
求面積的最大值．

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一、選擇題

1．D  2．A  3．A  4．B  5．B  6．C  7．C  8．C  9．C  10．B  11．D  12．A

二、填空題

13．         14．      15．       16．③④

三、解答題

17．解：（1）將得

（2）不等式即為

即

①當

②當

③.

18．解：

19．解：（1）設正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，則，可得：

（2）

20．解法（一）

（1）證明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）設點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）過D作DH⊥CE于H，連D₁H、DE，則D₁H⊥CE，

  ∴∠DHD₁為二面角D₁―EC―D的平面角.

設AE=x，則BE=2－x

解法（二）：以D為坐標原點，直線DA，DC，DD₁分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，

，設平面ACD₁的法向量為，則

也即，得，從而，所以點E到平面AD₁C的距離為

（3）設平面D₁EC的法向量，∴

由  令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依題意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=時，二面角D₁―EC―D的大小為.

21．解：（1）方法一 用數學歸納法證明：

1°當n=1時，

   ∴，命題正確.

2°假設n=k時有

   則

而

又

∴時命題正確.

由1°、2°知，對一切n∈N時有

方法二：用數學歸納法證明：

       1°當n=1時，∴；

    2°假設n=k時有成立，

       令，在[0，2]上單調遞增，所以由假設

有：即

也即當n=k+1時  成立，所以對一切

   （2）下面來求數列的通項：所以

,

又b_n=－1，所以

22．解：（1）設切點A、B坐標分別為，

∴切線AP的方程為：

  切線BP的方程為：

解得P點的坐標為：

所以△APB的重心G的坐標為 ，

所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為：

   （2）方法1：因為

由于P點在拋物線外，則

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為：

即

所以P點到直線BF的距離為：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②當時，直線AF的方程：

直線BF的方程：

所以P點到直線AF的距離為：

，同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.