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本小題滿分14分

正方形的邊長為1，分別取邊的中點，連結，   

以為折痕，折疊這個正方形，使點重合于一點，得到一   

個四面體，如下圖所示。

（1）求證：；

（2）求證：平面。

如圖,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,E∈BB_1，截面A₁EC⊥側面AC₁.

(Ⅰ)求證:BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數.

注意:在下面橫線上填寫適當內容,使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答(Ⅱ).

(Ⅰ)證明:在截面A₁EC內,過E作EG⊥A₁C,G是垂足.

① ∵                                     

 ∴EG⊥側面AC₁;取AC的中點F,連結BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

② ∵                             

 ∴BF⊥側面AC₁;得BF∥EG,BF、EG確定一個平面,交側面AC₁于FG.

③ ∵                      

 ∴BE∥FG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG,

④ ∵                            

 ∴FG∥AA₁,△AA₁C∽△FGC,

⑤ ∵                    

即，故

如圖，邊長為2的正方形ABCD，E是BC的中點，沿AE，DE將折起，使得B與C重合于O．

（Ⅰ）設Q為AE的中點，證明：QDAO；

（Ⅱ）求二面角O—AE—D的余弦值．

【解析】第一問中，利用線線垂直，得到線面垂直，然后利用性質定理得到線線垂直。取AO中點M，連接MQ，DM，由題意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因為Q為AE的中點，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

第二問中，作MNAE,垂足為N，連接DN

因為AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因為AODM ，DM平面AOE

因為MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

（1）取AO中點M，連接MQ，DM，由題意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因為Q為AE的中點，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

（2）作MNAE,垂足為N，連接DN

因為AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因為AODM ，DM平面AOE

因為MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

二面角O-AE-D的平面角的余弦值為