Question

如圖,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,E∈BB_1，截面A₁EC⊥側面AC₁.

(Ⅰ)求證:BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC與平面A₁B₁C₁所成二面角(銳角)的度數.

注意:在下面橫線上填寫適當內容,使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答(Ⅱ).

(Ⅰ)證明:在截面A₁EC內,過E作EG⊥A₁C,G是垂足.

① ∵                                     

 ∴EG⊥側面AC₁;取AC的中點F,連結BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

② ∵                             

 ∴BF⊥側面AC₁;得BF∥EG,BF、EG確定一個平面,交側面AC₁于FG.

③ ∵                      

 ∴BE∥FG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG,

④ ∵                            

 ∴FG∥AA₁,△AA₁C∽△FGC,

⑤ ∵                    

即，故

Answer 1

解 (Ⅰ)①∵面A₁EC⊥側面AC₁,   ②∵面ABC⊥側面AC₁,                                                              ③∵BE∥側面AC₁,       ④∵BE∥AA₁,                                                                                       ⑤∵AF=FC,                                                                           

(Ⅱ)解:分別延長CE、C₁B₁交于點D,連結A₁D.

∵

∴

∵

∴即

∵CC₁⊥面A₁C₁B₁,即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影,根據三垂線定理得DA₁⊥A₁C,

所以∠CA₁C₁所求二面角的平面角.                                         ∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁,∠A₁C₁C=90°,

∴∠CA₁C₁=45°,即所求二面角為45°.