已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC，F為BB₁上一點，BF=BC=2，FB₁=1，D為BC中點，E為線段AD上不同于A、D的任意一點，
（1）證明：EF⊥FC₁；
（2）若AB=

2

，是否存在點E滿足EF與平面FA₁C₁所成角為arcsin

30

6

，若存在，求點E到平面A₁C₁CA的距離；若不存在，說明理由．

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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示，且D是BC的中點，
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A₁B₁上是否存在點E，使AE與DC₁成60°角？若存在，確定E點位置，若不存在，說明理由。

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已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，，CN=3AN，點M，P，Q分別是AA₁，A₁B₁，BC的中點．
（Ⅰ）求證：直線PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）求直線AB與平面BMC所成角的正弦值．

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一、選擇題  1-5  D D A C B  6-10  C B D A D  11 A 12 D

二、填空題13．丙     14．     15．    16．

三、解答題

17（1）解：∵p與q是共線向量
　　∴(2－2sin A)(1＋sin A)－(cos A＋sin A)(sin A－cos A)＝0                                 2分
　　整理得：，∴                                                             4分
　　∵△ABC為銳角三角形，∴A=60°                                                                      6分

 （2）
　　　                                       10分
　　當B＝60°時取函數取最大值2．
　　此時三角形三內角均為60°                                                                               12分

18. 解：（1）由已知，甲隊5名隊員連續有3人射中，另外2人未射中的概率為

       ……………………6分

（2）兩隊各射完5個點球后甲勝出，比分為3:1的概率為

…………………………12分

 19．本小題滿分12分）

    解：（I）在直三棱柱ABC―中，AA₁⊥面ABC

    ∴AA₁⊥BC

    又∵∠ABC＝90°

    ∴BC⊥面ABB₁A₁

    又面ABB₁A₁

    ∴BC⊥A₁E  3分

    （II）連接AC₁交A₁C于點F，則F為AC₁的中點

    又∵E為AB的中點    ∴EF∥BC₁  5分

    又EF面A₁CE    ∴BC₁∥面A₁CE  6分

    （III）∵面ACA₁⊥面ABC，作EO⊥AC，則EO⊥面ACA₁，

    作OG⊥A₁C，則∠OGE為二面角A―A₁C―E的平面角  8分

    又∵直線A₁C與面ABC成45°角

    ∴∠A₁CA＝45°

    又，E為AB的中點    ∴

    ∴  11分

    ∴

    ∴二面角A―A₁C―E的正切值為  12分

20．解：，       

  (1)是的極小值點，.           

  (2)令   ……. ①

   當時，

   當時，    ….②

① - ② 得：

21解：        …………………2分

①     當即時，

        （舍）          …………………5分

②     當即時

    又

∴                                              …………………8分

③     當即時

 又

∴                                            ………………11分

綜上所述   ………………12

22.解：（Ⅰ）設所求雙曲線的方程為

拋物線的焦點F∴，即

又雙曲線過點∴，解得

故所求雙曲線的方程為

(Ⅱ) 直線．消去方程組中的并整理，得．   ①

設，由已知有，且是方程①的兩個實根，

∴，，  ．

  （Ⅲ） 解之，得或．

∵，∴，， 因此，．