Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC，F為BB₁上一點，，BF=BC=2a，若D為BC的中點，E為線段AD上不同于A，D任意一點．
（1）證明：EF⊥FC₁；
（2）試問：若AB=2a，在線段AD上的E點能否使EF與平面BB₁C₁C成60°角，為什么？證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：連接FD，FC₁

由，BF=BC=2a，D為BC的中點，可得BF=B₁C₁，BD=B₁F，
∵∠C₁B₁F=∠FBD，∴△FB₁C₁≌△DBF，則∠C₁FB₁=∠FDB
又∠DFB+∠FDB=90°，所以C₁F⊥FD
又FD是EF在平面C₁B₁CB的射影，則C₁F⊥FE
（2）解：在線段AD上的不存在E點使EF與平面BB₁C₁C成60°角，理由如下：
∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC
∵平面ABC⊥平面C₁B₁CB，平面ABC∩平面C₁B₁CB=CB
∴AD⊥平面C₁B₁CB
∴∠EFD是EF與平面C₁B₁CB所成的角
由題意知，所以
于是
故不存在．
分析：（1）先證明△FB₁C₁≌△DBF，從而可得C₁F⊥FD，又FD是EF在平面C₁B₁CB的射影，可證C₁F⊥FE；
（2）先證明AD⊥平面C₁B₁CB，可得∠EFD是EF與平面C₁B₁CB所成的角，由，所以求出ED長，即可得到結論．
點評：本題考查線線垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，確定線面角是關鍵．