題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)
古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（
）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．
現用an表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
(1) 寫出a1，a2，a3，并求出an；
(2) 記
，求和
（
）；
（其中
表示所有的積
的和）
(3) 證明：
．
(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝x3＋x2－2.
(1)設{an}是正數組成的數列，前n項和為Sn，其中a1＝3.若點(an，an＋12－2an＋1)(n∈N*)在函數y＝f′(x)的圖象上，求證：點(n，Sn)也在y＝f′(x)的圖象上；
(2)求函數f(x)在區間(a－1，a)內的極值．
1． (本小題滿分12分)
古代印度婆羅門教寺廟內的僧侶們曾經玩過一種被稱為“河內寶塔問題”的游戲，其玩法如下：如圖，設有n（
）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．
現用an表示將n個圓盤全部從A柱上移到C柱上所至少需要移動的次數，回答下列問題：
(1) 寫出a1，a2，a3，并求出an；
(2) 記
，求和
（
）；
（其中
表示所有的積
的和）
(3) 證明：
．
）個圓盤依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A柱上，現要將套在A柱上的盤換到C柱上，要求每次只能搬動一個，而且任何時候不允許將大盤套在小盤上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．
，求和
（
）；
表示所有的積
的和）
．一、選擇題(本大題12小題，每小題5分，共60分)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
D
A
B
C
C
C
A
D
A
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)
13.4949； 14.[
] 15.②④； 16.x<0或x>2
三、解答題(本大題共6小題共74分)
17.解(1)設
，由
，有x+y=-1 ①……………1分
與
的夾角為
，有
，
∴
，則x2+y2=1 ②……………2分
由①②解得
，∴
(-1，0)或(0，-1) ……………4分
(2)由2B=A+C知B=
……………5分
由
垂直知(0，-1)，則
……………6分
∴
=1+
……………8分
∵0<A<
∴-1≤cos(2A+
)<
即
………………10分
故
………………12分
18.解：(1)過點A作AF⊥CB交CB延長線于點F，連結EF，則AF⊥平面BCC1B1，∠AEF為所求直線AE與平面BCC1B1所成的角. …………………2分
在Rt△AEF中，AF=
∠AEF=
故直線AE與平面BCC1B1所成的角為arctan
…………………6分
(2)以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，建立空間直角坐標系O-xyz，則
A (0，-
)，E (0，
)，D1 (-1，0，2)
…………………8分
設平面AED1的一個法向量
則
取z=2
，得=(3，-1，2)
∴點O到平面AED1的距離為d=
…………………12分
19.解(1)由(an+1+an+2+an+3)-(an+an+1+an+2)=1
，
∴a1?a4,a7…,a3n-2是首項為1，公差為1的等差數列，
∴Pn=
…………………4分
由
∴b2,b5,b8, …b3n-1是以1為首項，公比為-1的等比數列
∴Qn=
…………………8分
(2)對于Pn≤100Qn
當n為偶數時，不等式顯然不成立；
當n為奇數時，
，解得n=1，3，…，13.
所求之和為
………………12分
20.解∵P(x=6)=
………………3分
P(x=7)=
………………6分
P(x=8)=
………………9分
∴P(x≥6)=
………………12分
答：線路信息暢通的概率為
21.解：因為f′(x)=3x2+6ax+b,由題設得
解得：
………………4分
∴當
時，f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,于是f(x)不存在極值；
當
時，f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),符合條件。 ………………6分
且f(1)=20, f(0)=4，于是由題設得：3x2+12x+9≤20m-8在區間[-4，3]上恒成立，又f′(x)=3x2+12x+9=3(x+2)2-3在區間 [-4，3]上的最大值為72.
∴
,即實數m的取值范圍是.
22.(1)設M (x,y),則由
且O是原點得
A (2，0)，B (2，1)，C (0，1)，從而
(x，y),
由
得(x,y)?(x-2,y)=k[(x,y-1)?(x-2,y-1)-|y-1|2]
即(1-k)x2+2(k-1)x+y2=0為所求軌跡方程 ………………4分
①當k=1時，y=0動點M的軌跡是一條直線
②當k≠1時，(x-1)2+
k=0時，動點M軌跡是一個圓
k>1時，動點M軌跡是一條雙曲線；
0<k<1或k<0時軌跡是一個橢圓 . ………………6分
(2)當k=
時，動點M的軌跡方程為(x-1)2+2y2=1即y2=-(x-1)2
從而
又由(x-1)2+2y2=1 ∴0≤x≤2
∴當x=
時，
的最大值為
.
當x=0時，的最大值為16.
∴
的最大值為4，最小值為
…………………10分
(3)由
由
得
①當0<k<1時，a2=1,b2=1-k,c2=k
∴e2=k ∴
②當k<0時，e2=
∴k∈
…………………14分
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