Question

(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝x³＋x²－2.
(1)設{a_n}是正數組成的數列，前n項和為S_n，其中a₁＝3.若點(a_n，a_n＋1²－2a_n＋1)(n∈N^*)在函數y＝f′(x)的圖象上，求證：點(n，S_n)也在y＝f′(x)的圖象上；
(2)求函數f(x)在區間(a－1，a)內的極值．

Answer 1

解析：
(1)證明：因為f(x)＝x³＋x²－2，
所以f′(x)＝x²＋2x，
由點(a_n，a_n＋1²－2a_n＋1)(n∈N^*)在函數y＝f′(x)的圖象上，得a_n＋1²－2a_n＋1＝a_n²＋2a_n，即(a_n＋1＋a_n)(a_n＋1－a_n－2)＝0.
又a_n>0(n∈N^*)，所以a_n＋1－a_n＝2.
又因為a₁＝3，
所以數列{a_n}是以3為首項，以2為公差的等差數列，
所以S_n＝3n＋×2＝n²＋2n.
又因為f′(n)＝n²＋2n，所以S_n＝f′(n)，
故點(n，S_n)也在函數y＝f′(x)的圖象上．
(2)f′(x)＝x²＋2x＝x(x＋2)，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，－2)	－2	(－2,0)	0	(0，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

注意到|(a－1)－a|＝1<2，從而
①當a－1<－2<a，即－2<a<－1時，f(x)的極大值為f(－2)＝－，此時f(x)無極小值；
②當a－1<0<a，即0<a<1時，f(x)的極小值為f(0)＝－2，此時f(x)無極大值；
③當a≤－2或－1≤a≤0或a≥1時，f(x)既無極大值又無極小值．

略