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在平面直角坐標系中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），圓O：x²+y²=a²，且過點A（

a2

c

，0）所作圓的兩條切線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓離心率；
（Ⅱ）若直線y=2

3

與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；
（Ⅲ）設點T（0，3）在橢圓內部，若橢圓C上的點到點P的最遠距離不大于5

2

，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

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一、選擇題

BCDC  BBCB  AA

二、填空題

11．（-1，0）；12．4；13．-4；14．-1；15．；16．x²(注：本題答案不唯一，只要滿足條件 a¹0,2|a|+|b|≤1即可)

三、解答題

17．解：由條件知20cos²A=3?,即10cos²A?sinA=3cosA,又cot¹tan,∴cosA¹0,

解得sin2A=.                     ?????????????????????????????????????????????????????????4分

(1)    若∠C=60º,則cos2B=cos2(120º-A)=cos(240º-2A)=-cos(60º-2A)=-(cos60ºcos2A+sin60ºsin2A)

=-.                         ??????????????????????????????????????????????????????????????7分

(2)    若a<b<c,則A<60º.又由sin2A=<,知0<2A<60º或2A>120º.∴A<30º.???????????????11分

∵(sinA-cosA)²=1-sin2A=,∴sinA-cosA=-.???????????????????????????????????????????????????????12分

18．解:(1)設P(x,y),則=(x+1,y),=(x-1,y),

   ∵,∴(x+1)²=(x-1)²+y²,????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分

即y²=4x.     

動點P的軌跡E的方程是y²=4x.      ???????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

  (2)設直線l的方程為x=k(y-1),代入軌跡E的方程y²=4x,整理得:y²-4ky+4k=0.  ?????????6分

由題意知,(4k)²-4´4k>0且4k>0,解得k>1.    ???????????????????????????????????????????????????????????8分

由根與系數的關系可得MN的中點坐標為(k(2k-1),2k),

∴線段MN垂直平分線方程為:y-2k=-k[x-k(2k-1)],        ?????????????????????????????????10分

令y=0,得D點的橫坐標x₀=2k²-k+2,

∵k>1,∴x₀>3,即為所求.      ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

19．(1)證明:連結C₁E,則C₁E^A₁B₁,

又∵A₁B₁^C₁C,∴A₁B₁^平面EDC₁,∴A₁B­₁^DE,

而A₁B₁//AB,∴AB^DE.   ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

(2)取AB中點為F,連結EF,DF,則EF^AB,∴AB^DF.

   過E作直線EH^DF于H點,則EH^平面DAB,∴EH就是直線A₁B₁到平面DAB的距離.

   在矩形C₁EFC中,∵AA₁=AB=2,∴EF=2,C₁E=,DF=2,

∴在△DEF中,EH=,

故直線A₁B₁到平面DAB的距離為.         ???????????????????????????????????????????????????????????9分

(3)過A作AM^BC于M點,則AM^平面CDB,

   過M作MN^BD于N點,連結AN,則AN^BD,∴∠ANM即為所求二面角的平面角,

   在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M為BC中點,∴MN=,

   在Rt△AMN中,tan∠ANM=,

    故二面角A-BD-C的大小為arctan.      ???????????????????????????????????????????????????????????????14分

20．解：（1）設從明年開始經過第n年，方案乙的累計總收益為正數。

在方案乙中，前4年的總收入為

    =2600<6000,                       ?????????????????????????????????????????1分

故n必定不小于5，則由

    2600+320´1.5⁴(n-4)>6000，                       ?????????????????????????????????????4分

解得 n>6,故n的最小值為7，

答: 從明年開始至少經過7年，方案乙能收回投資。  ????????????????????????????????????????????6分

（2）設從明年開始經過n年方案甲與方案乙的累計總收益分別為y₁,y₂萬元，則

y₁=760n-[50n+n(n-1)?20]=-10n²+720n,    ???????????????????????????????????????????????????????????????8分

當n≤4時，則y₁>0,y₂<0,可得y₁>y₂.          ???????????????????????????????????????????????????????????9分

當n³5時，y₂=2600+320´1.5⁴(n-4)-6000=1620n-9880，

令y₁<y₂,可得1620n-9880>-10n²+720n,

即   n(n+90)>998,   ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分

由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值為10.

答：從明年開始至少經過10年，方案乙的累計總收益超過方案甲。 ??????????????????14分

21．解: (1)設0≤x₁<x₂≤1,則必存在實數tÎ(0,1),使得x₂=x₁+t,

   由條件③得,f(x₂)=f(x₁+t)³f(x₁)+f(t)-2,

   ∴f(x₂)-f(x₁)³f(t)-2,

   由條件②得, f(x₂)-f(x₁)³0,

   故當0≤x≤1時,有f(0)≤f(x)≤f(1).                 ????????????????????????????????????????????????????????????3分

   又在條件③中,令x₁=0,x₂=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,   ??????????????????????????????5分

   故函數f(x)的最大值為3,最小值為2.                        ???????????????????????????????????6分

(2)解:在條件③中,令x₁=x₂=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2],  ????????????????????????????9分

   故當nÎN*時，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤???≤[f()-2]=,

   即f()≤+2.

   又f()=f(1)=3≤2+,

   所以對一切nÎN,都有f()≤+2.                    ???????????????????????????????????????????????12分

(3)對一切xÎ(0,1,都有.

  對任意滿足xÎ(0,1，總存在n(nÎN),使得

        <x≤,                    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

  根據（1）（2）結論，可知：

f(x)≤f()≤+2,

且2x+2>2´+2=+2,

故有.

綜上所述，對任意xÎ(0,1,恒成立.   ?????????????????????????????????????????????16分