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已知函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+bx+1（x∈R，a，b為實數）有極值，且x=-1處的切線與直線x-y+1=0平行．
（1）求實數a的取值范圍．
（2）是否存在實數a，使得f′（x）=x的兩個根x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1，若存在，求實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

已知函數f（x）=

1

3

x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b為實數）有極值，且在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使得函數f（x）的極小值為1，若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由；
（3）設a=

1

2

令g（x）=

f′(x+1)

x

-3，x∈（0，+∞），求證：gⁿ（x）-xⁿ-

1

xn

≥2ⁿ-2（n∈N₊）．

已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=

π

3

時，f（x）取得極小值

π

3

-

3

．
（1）求a，b的值；
（2）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
②對任意x∈R都有g（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
試證明：直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．
（3）記h(x)=

1

8

[5x-f(x)]，設x₁是方程h（x）-x=0的實數根，若對于h（x）定義域中任意的x₂、x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，問是否存在一個最小的正整數M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在請求出M的值；若不存在請說明理由．

已知函數f（x）=x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b為實數）有極值，且在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使得函數f（x）的極小值為1，若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由；
（3）設a=令g（x）=-3，x∈（0，+∞），求證：gⁿ（x）-xⁿ-≥2ⁿ-2（n∈N₊）．