Question

已知函數f（x）=ax+bsinx，當x=

π

3

時，f（x）取得極小值

π

3

-

3

．
（1）求a，b的值；
（2）設直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x）．若直線l與曲線S同時滿足下列兩個條件：
①直線l與曲線S相切且至少有兩個切點；
②對任意x∈R都有g（x）≥F（x）．則稱直線l為曲線S的“上夾線”．
試證明：直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”．
（3）記h(x)=

1

8

[5x-f(x)]，設x₁是方程h（x）-x=0的實數根，若對于h（x）定義域中任意的x₂、x₃，當|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1時，問是否存在一個最小的正整數M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在請求出M的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意，求出函數的導數再代入可得方程組，求解即可；
（2）設直線l：g（x）=x+2，曲線S：f（x）=ax+bsinx，求出f（x）的導數，因為直線斜率為1，由f'（x）=1-2cosx=1可得極值點，再驗證得到直線與曲線f（x）的切點，利用g（x）≥F（x）也可作差得到結論．
（3）本問可求出h（x）的最大值和最小值然后轉化為|h（x₃）-h（x₂）|_max=|h（x）_max-h（x）_min|小于某個正整數M即可；本問題也可以利用函數的單調性來求解，只需做一個轉化h（x）與x的關系，為此可構造函數h（x）-x，于是可以證得結論．

解答：（1）由已知f'（x）=a+bcosx，于是得：

f′( π 3 )=0 f( π 3 ) = π 3 - 3

代入可得：a=1，b=-2…（3分）
（2）由f'（x）=1-2cosx=1，得cosx=0，當x=-

π

2

時，cosx=0此時y1=-

π

2

+2，y2=-

π

2

+2，y₁=y₂所以(-

π

2

，-

π

2

+2)是直線l與曲線S的一個切點，當x=

3π

2

時，cosx=0，y1=

3π

2

+2，y2=

3π

2

+2，y₁=y₂
所以(

3π

2

，

3π

2

+2)是直線l與曲線S的一個切點  所以直線l與曲線S相切且至少有兩個切點…（6分）
對任意x∈R，g（x）-F（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0
所以g（x）≥F（x），因此直線l：y=x+2是曲線S：y=ax+bsinx的“上夾線”…（9分）
（3）方法一：h(x)=

x

2

+

sinx

4

，x₁為-

x

2

+

sinx

4

=0的根，即x₁=0，也即|x₃|＜1，|x₂|＜1…（10分）
而h′(x)=

x

2

+

cosx

4

＞0∴h(x)max=h(1)=

1

2

+

sinx

4

，h(x)min=h(-1)=-

1

2

-

sinx

4

∴|h(x3)-h(x2)|max=|h(1)-h(-1)|=1+

sin1

2

＜2…（13分）
所以存在這樣最小正整數M=2使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立．…（14分）
方法二：不妨設x₂＜x₃，因為h'（x）＞0，所以h（x）為增函數，所以h（x₂）＜h（x₃）
又因為h'（x）-1＜0，所以h（x）-x為減函數，所以h（x₂）-x₂＞h（x₃）-x₃所以0＜h（x₃）-h（x₂）＜x₃-x₂，…（11分）
即|h（x₃）-h（x₂）|＜|x₃-x₂|=|x₃-x₁-（x₂-x₁）|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|＜2…（13分）
故存在最小正整數M=2，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立…（14分）

點評：考查函數的導數以及導數的應用：求函數的極值，最值判斷極值存在的條件，本題中的（2）和（3）是一種新定義問題，如果對定義以及本題題意把握不準，難免會出差錯，甚至無從下手，這就需要多角度分析，比如數形結合來分析，再者關鍵是深刻理解性定義，這樣就能容易解答；第（3）問較為綜合，是一類新穎的函數問題，解答本題轉化與劃歸是精髓，另外結合要證明的不等式之特點，構造函數不失為一種好思維，好方法．