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已知函數f（x）=ax²+ln（x+1）．
（Ⅰ）當a=

1

4

時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：(1+

2

2×3

)×(1+

4

3×5

)×(1+

8

5×9

)…(1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

)＜e（其中，n∈N^*，e是自然對數的底數）

已知函數f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）當a=-

1

4

時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數a的取值范圍．
（3）利用ln（x+1）≤x，求證：ln{(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]}＜1（其中n∈N^*，e是自然對數的底數）．

已知函數f（x）=ax²+ln（x+1）．
（Ⅰ）當a=-

1

4

時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數a的取值范圍．
（Ⅲ）求證：(1+

2

2×3

)(1+

4

3×5

)(1+

8

5×9

)•…•[1+

2n

(2n-1+1)(2n+1)

]＜e（其中n∈N^*，e是自然對數）．

（2008•奉賢區模擬）我們規定：對于任意實數A，若存在數列{a_n}和實數x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，則稱數A可以表示成x進制形式，簡記為：A=

.

x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)

．如：A=

.

2\～(-1)(3)(-2)(1)

，則表示A是一個2進制形式的數，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數列{a_n}滿足a₁=2，ak+1=

1

1-ak

，k∈N*，bn=

.

2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)

（n∈N^*），是否存在實常數p和q，對于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數t滿足t≠0且t＞-1，dn=

.

t\～( C 1 n )( C 2 n )( C 3 n )…( C n-1 n )( C n n )

，求

lim

n→∞

dn

dn+1

．