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（本小題滿分14分）
已知雙曲線的一個焦點為(,0),一條漸近線方程為,其中
是以4為首項的正數數列,記.
(Ⅰ)求數列的通項公式; 
(Ⅱ)若數列的前n項的和為S_n,求;
(Ⅲ)若不等式+(a>0,且a≠1)對一切自然數n恒成立,求實數x的取值范圍.

（本小題滿分14分）如圖，已知直線OP₁，OP₂為雙曲線E:的漸近線，△P₁OP₂的面積為，在雙曲線E上存在點P為線段P₁P₂的一個三等分點，且雙曲線E的離心率為.

（1）若P₁、P₂點的橫坐標分別為x₁、x_2­，則x₁、x₂之間滿足怎樣的關系？并證明你的結論；

（2）求雙曲線E的方程；

（3）設雙曲線E上的動點,兩焦點,若為鈍角,求點橫坐標的取值范圍.

（本小題滿分14分）

已知雙曲線的一個焦點為(,0),一條漸近線方程為,其中

是以4為首項的正數數列,記.

(Ⅰ)求數列的通項公式; 

(Ⅱ)若數列的前n項的和為S_n,求;

(Ⅲ)若不等式+(a>0,且a≠1)對一切自然數n恒成立,求實數x的取值范圍.

（本小題滿分14分）已知數列是以4為首項的正數數列，雙曲線

的一個焦點坐標為, 且, 一條漸近線方程為.

（1）求數列的通項公式;

（2） 試判斷: 對一切自然數，不等式是否恒成立？并說明理由.

（本小題滿分14分）如圖，已知直線OP₁，OP₂為雙曲線E:的漸近線，△P₁OP₂的面積為，在雙曲線E上存在點P為線段P₁P₂的一個三等分點，且雙曲線E的離心率為.

（1）若P₁、P₂點的橫坐標分別為x₁、x_2­，則x₁、x₂之間滿足怎樣的關系？并證明你的結論；
（2）求雙曲線E的方程；
（3）設雙曲線E上的動點,兩焦點,若為鈍角,求點橫坐標的取值范圍.