Question

（本小題滿分14分）

已知雙曲線的一個焦點為(,0),一條漸近線方程為,其中

 

是以4為首項的正數數列,記.

(Ⅰ)求數列的通項公式; 

(Ⅱ)若數列的前n項的和為S_n,求;

 

(Ⅲ)若不等式+(a>0,且a≠1)對一切自然數n恒成立,求實數x的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解: (Ⅰ)∵雙曲線方程為的一個焦點為(,0),∴.

又∵一條漸近線方程為,∴.∴=2.

∵a₁=4,∴是以4為首項的等比數列,a_n=2ⁿ⁺¹.∴c_n=3·2ⁿ.

(Ⅱ) S_n=c₁+c₂+…+c_n=3(2+2²+…+2ⁿ)=6(2ⁿ－1).

∵a_nc_n=3·2²ⁿ⁺¹,

∴

∴

(Ⅲ)T=,①

T=,②

①－②得T=,

故原不等式等價于 (n∈N^*)恒成立,即恒成立,

∴≥0恒成立,

故(ⅰ)當a>1時,x≥1.(ⅱ)當0<a<1時,0<x≤1.

【解析】略