如圖.正三角形ABC與直角三角形BCD成直二面角.且∠BCD=90°.∠CBD=30°. (1)求證:AB⊥CD, (2)求二面角D-AB-C的大小, 答案與提示:(2)arctan 3 空間角例1.如圖1.設ABC-ABC是直三棱柱.F是AB的中點.且 (1)求證:AF⊥AC, (2)求二面角C-AF-B的大小．解:(1)如圖2.設E是AB的中點.連接CE.EA．由ABC-ABC是直三棱柱.知AA⊥平面ABC.而CE平面ABC.所以CE⊥AA. ∵AB=2AA=2a.∴AA=a.AA⊥AE.知AAFE是正方形.從而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影.故AF⊥AC, (2)設G是AB與A1E的中點.連接CG．因為CE⊥平面AABB.AF⊥AE.由三垂線定理.CG⊥AF.所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形.AA=a. ∴. ∴. ∴tan∠CGE=.∠CGE＝.從而二面角C-AF-B的大小為. 例2. 一條長為2的線段夾在互相垂直的兩個平面a.b之間.AB與a成45o角.與b成角.過A.B兩點分別作兩平面交線的垂線AC.BD.求平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小．以CD為軸.將平以AB為軸.將平面BCD旋轉至與面ABD旋轉至與平面ACD共面平面ABC共面圖 1 圖 2 圖 3 解法1.過D點作DE⊥AB于E.過E作EF⊥AB交BC于F(圖1).連結DF.則∠DEF即為二面角D-AB-C的平面角．為計算△DEF各邊的長.我們不妨畫出兩個有關的移出圖．在圖2中.可計算得DE＝1.EF＝.BF＝＝．在移出圖3中. ∵ cosB＝＝, 在△BDF中.由余弦定理: DF 2＝BD 2+BF 2-2BD ﹒ BF ﹒ cosB ＝()2+()2 -2﹒﹒ ＝． (注:其實.由于AB⊥DE.AB⊥EF.∴ AB⊥平面DEF.∴ AB⊥DF．又∵ AC⊥平面b. ∴ AC⊥DF． ∴ DF⊥平面ABC. ∴ DF⊥BC.即DF是Rt△BDC斜邊BC上的高.于是由BC ﹒ DF＝CD ﹒BD可直接求得DF的長．) 在△DEF中.由余弦定理: cos∠DEF＝＝＝. ∴ ∠DEF＝arccos.此即平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小．解法2.過D點作DE⊥AB于E.過C作CH⊥AB于H.則HE是二異面直線CH和DE的公垂線段.CD即二異面直線上兩點C.D間的距離．運用異面直線上兩點間的距離公式.得: CD 2＝DE 2+CH 2+EH 2-2DE CH cosq (*) (注:這里的q是平面ABD與平面ABC所成的二面角的大小.當0＜q o≤90o.q 亦即異面直線CH與DE所成的角,當90o＜q ＜180o.異面直線所成的角為180o-q .) ∵ CD＝DE＝1.CH＝.HE＝. 從而算得 cosq＝. ∴ q＝arccos. 例3.如圖1.直三棱柱ABC-ABC的各條棱長都相等. D為棱BC上的一點.在截面ADC中.若∠ADC＝. 求二面角D-AC1-C的大小．解:由已知.直三棱柱的側面均為正方形. 圖 7 ∵ ∠ADC1＝90o.即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC. ∴ AD⊥CC1. ∴ AD⊥側面BC1.∴ AD⊥BC. 圖1 ∴ D為BC的中點．過C作CE⊥C1D于E.∵ 平面ADC1⊥側面BC1. ∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中點F.連結CF.則CF⊥AC1．連結EF.則EF⊥AC1 ∴ ∠EFC是二面角D-AC1-C的平面角．在Rt△EFC中.sin∠EFC＝. ∵ BC＝CC1＝a 易求得 CE＝.CF＝. ∴ sin∠EFC＝. ∴ ∠EFC＝arcsin. ∴ 二面角D-AC1-C的大小為arcsin. 例4.如圖. 四棱錐的底面是邊長為1的正方形. 圖(1) SD垂直于底面ABCD.SB=√3. (I)求證, (II)求面ASD與面BSC所成二面角的大小, (III)設棱SA的中點為M.求異面直線DM與SB所成角的大小. (Ⅳ)求SD與面SAB所成角的大小. 分析:本小題主要考查直線與平面的位置關系等基本知識.考查空間想象能力.邏輯思維能力和運算能力. (I)證明:如圖1 ∵底面ABCD是正方形 SD⊥底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影由三垂線定理得 (II)解:SD⊥底面ABCD.且ABCD為正方形可以把四棱錐補形為長方體.如圖2 面ASD與面BSC所成的二面角就是面與面所成的二面角. 又為所求二面角的平面角在中.由勾股定理得在中.由勾股定理得即面ASD與面BSC所成的二面角為圖2 圖3 (III)解:如圖3 是等腰直角三角形又M是斜邊SA的中點面ASD.SA是SB在面ASD上的射影由三垂線定理得異面直線DM與SB所成的角為 (Ⅳ) 45° 練習:1.設△ABC和△DBC所在的兩個平面互相垂直.且AB=BC=BD.∠ABC= ∠DBC=120º.求: (1).直線AD與平面BCD所成角的大小. (2).異面直線AD與BC所成的角. (3) .二面角A-BD-C的大小. 答案:180°-arctan2 【查看更多】

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如圖，正三角形ABC與直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°.