Question

在直角三角形ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D為AC的中點，E為BD的中點，AE的延長線交BC于點F（如圖1）． 將△ABD沿BD折起，二面角A-BD-C的大小記為θ（如圖2）．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面BCD；面AEF⊥面BAD；
（Ⅱ）當cosθ為何值時，AB⊥CD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求FB與平面BAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以先證明△ABD為等邊三角形，從而可得BD⊥AE，BD⊥EF，根據線面垂直的判定可得BD⊥面AEF，進而根據面面垂直的判定可得面AEF⊥面BCD．同理面AEF⊥面BAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）的證明可得∠AEF為二面角A-BD-C的平面角．過A作AO⊥面BCD，垂足為O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，連BO交CD延長線于M，從而當AB⊥CD時，由三垂線定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得cosθ的值；
（Ⅲ）過F作FG⊥AE交AE的延長線于G點，由（Ⅰ）面AEF⊥面BAD，則FG⊥面BAD，故∠FBG就是FA與平面BAD所成角，在三角形FBG中，可求∠FBG的正弦值．

解答：證明：（Ⅰ）在△ABC中，由∠ACB=30°，得AB=

1

2

AC．
由D為AC的中點，得BD=

1

2

AC．∴△ABD為等邊三角形
則BD⊥AE，BD⊥EF，
∴BD⊥面AEF，
又∵BD?面BCD，∴面AEF⊥面BCD．
同理面AEF⊥面BAD…
（Ⅱ）由（Ⅰ）的證明可得∠AEF為二面角A-BD-C的平面角．過A作AO⊥面BCD，垂足為O．
∵面AEF⊥面BCD，∴O在FE上，連BO交CD延長線于M，
當AB⊥CD時，由三垂線定理的逆定理得BM⊥CM，
∴O為翻折前的等邊三角形△ABD的中心．
則OE=

1

3

AE，cosθ=-

1

3

．
因此當cosθ=-

1

3

時，AB⊥CD．…（7分）
（Ⅲ）過F作FG⊥AE交AE的延長線于G點，由（Ⅰ）面AEF⊥面BAD，則FG⊥面BAD
故∠FBG就是FA與平面BAD所成角
設AB=a，則AE=

3

2

a，EF=

3 a

6

，FB=

3 a

3

；
而cosθ=-

1

3

⇒sin∠FEG=

2 2

3

，
故GF=

3 a

6

×

2 2

3

=

6

9

a
所以sin∠FBG=

GF

FB

=

2

3

即FB與平面BAD所成角的正弦值為

2

3

…（12分）

點評：本題以平面圖形為載體，考查圖形的翻折，關鍵是搞清翻折前后有關元素的變與不變，考查面面角，考查線面角，關鍵是正確作出相應的角．