4．正棱錐的性質: ① 正棱錐各側棱 .各側面都是的等腰三角形.各等腰三角形底邊上的高 (它叫做正棱錐的 ), ② 正棱錐的高.斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個三角形.正棱錐的高.側棱.側棱在底面內(nèi)的射影組成一個三角形．典型例題例1．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1.AB＝1.AA1＝2. 點E為CC1的中點.點F為BD1的中點. ⑴ 證明:EF為BD1與CC1的公垂線, ⑵ 求點F到面BDE的距離. 答案變式訓練1:三棱柱ABC-A1B1C1中.AB＝a. BC.AC.AA1長均為a.A1在底面ABC上的射影O在AC上． ⑴ 求AB與側面AC1所成的角, ⑵ 若O點恰是AC的中點.求此三棱柱的側面積．答案例2. 如圖.正三棱錐P-ABC中.側棱PA與底面ABC成60°角． (1)求側PAB與底面ABC成角大小, (2)若E為PC中點.求AE與BC所成的角, (3)設AB＝.求P到面ABC的距離．解:(1), (2)取PB中點F.連結EF.則∠AEF為所求的角.求得∠AEF＝, (3)P到平面ABC的距離為．變式訓練2: 四面體ABCD中.O.E分別是BD.BC的中點. CA＝CB＝CD＝BD＝2.AB＝AD＝. (1)求證:AO⊥平面BCD, (2)求異面直線AB與CD所成的角, (3)求點E到平面ACD的距離．答案:(1)易證AO⊥BD.AO⊥OC.∴AO⊥平面BCD, (2),(3)用等體積法或向量法可求得點E到平面ACD的距離是．例3. 四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形.AB∥CD.AB＝2.CD＝1.∠DAB＝45°,側面PAD是等腰直角三角形.AP＝PD.且平面PAD⊥平面ABCD． ⑴ 求證:PA⊥BD, ⑵ 求PB與底面ABCD所成角的正切值, ⑶ 求直線PD與BC所成的角．答案:,(3)60° 變式訓練3:在所有棱長均為a的正三棱柱ABC-A1B1C1中.D為BC的中點． ⑴ 求證:AD⊥BC1, ⑵ 求二面角A-BC1-D的大小, ⑶ 求點C到平面ABC1的距離．提示:(1)證AD⊥平面BB1C1C,(2) arc tan,(3) a．例4．如圖.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠ACB＝90°.AC＝BC＝CC1＝1.M為AB的中點.A1D＝3DB1． (1)求證:平面CMD⊥平面ABB1A1, (2)求點A1到平面CMD的距離, (3)求MD與B1C1所成角的大小．提示(1)轉證CM⊥平面A1B, (2)過A1作A1E⊥DM.易知A1E⊥平面CMD.∴求得A1E＝1, (3)異面直線MD與B1C1所成的角為變式訓練4:在長方體ABCD-A1B1C1D1中.AA1＝AD＝1.AB＝.O為對角線A1C的中點． ⑴ 求OD與底面ABCD所成的角的大小, ⑵ P為AB上一動點.當P在何處時.平面POD⊥平面A1CD?并證明你的結論．答案當P為AB的中點時.平面POD⊥平面A1CD．小結歸納柱體和錐體是高考立體幾何命題的重要載體.因此.在學習時要注意以下三點．【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

用向量探索幾何的性質：
（1）在△ABC中，D是線段BC的中點，證明：

；
（2）把此結論推廣到四面體：設四面體ABCD，點O是三角形BCD的重心，探究

，

與

的等量關系，并說明理由；
（3）進一步探索，確定正n棱錐P-A₁A₂A₃…A_n的底面多邊形內(nèi)一點O的位置，并寫出向量：

PA1

、

PA2

、…、

PAn

與

的等量關系．（不必證明）

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具有下列哪一條性質的三棱錐必定是正棱錐

[　　]

A.頂點在底面上的射影到底面各頂點的距離相等.

B.底面是正三角形且側面是等腰三角形.

C.底面三角形的各邊分別與相對的側棱垂直.

D.底面是正三角形并且與側面所成的二面角相等.

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具有下列哪個性質的棱錐必是正棱錐　　　

[　　]

A．底面是正三角形且其余各面是等腰三角形

B．底面是正三角形、底面各邊分別與對棱垂直

C．各側面是全等三角形

D．側棱與底面所成的角相等

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具有下列性質的三棱錐中，哪一個是正棱錐

[　　]

A．頂點在底面的射影到底面各頂點的距離相等

B．底面是正三角形，且側面都是等腰三角形

C．相鄰兩條側棱間的夾角相等

D．三條側棱相等，且頂點在底面上射影是底面三角形的內(nèi)心

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具有下列哪個性質的棱錐必是正棱錐

A.
底面是正三角形且其余各面是等腰三角形
B.
底面是正三角形、底面各邊分別與對棱垂直
C.
各側面是全等三角形
D.
側棱與底面所成的角相等

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同步練習冊答案

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