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已知直線l：y=x+

6

，圓O：x²+y²=5，橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

3

，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證兩切線斜率之積為定值．

（理）斜率為1的直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，且與拋物線交于兩點A、B．
（1）若p=2，求|AB|的值；
（2）將直線AB按向量

a

=(-p，0)平移得直線m，N是m上的動點，求

NA

•

NB

的最小值．
（3）設C（p，0），D為拋物線y²=2px（p＞0）上一動點，是否存在直線l，使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

如圖，橢圓C₁與橢圓C₂中心在原點，焦點均在x軸上，且離心率相同．橢圓C₁的長軸長為2

2

，且橢圓C₁的左準線l：x=-2被橢圓C₂截得的線段ST長為2

3

，已知點P是橢圓C₂上的一個動點．
（1）求橢圓C₁與橢圓C₂的方程；
（2）設點A₁為橢圓C₁的左頂點，點B₁為橢圓C₁的下頂點，若直線OP剛好平分A₁B₁，求點P的坐標；
（3）若點M，N在橢圓C₁上，點P，M，N滿足

OP

=

OM

+2

ON

，則直線OM與直線ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

如圖，已知動直線l經過點P（4，0），交拋物線y²=2ax（a＞0）于A，B兩點，坐標原點O是PQ的中點，設直線AQ，BQ的斜率分別為k₁，k₂．
（1）證明：k₁+k₂=0；
（2）當a=2時，是否存在垂直于x軸的直線l′，被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，請求出直線l′的方程；若不存在，請說明理由．