Question

已知直線l：y=x+

6

，圓O：x²+y²=5，橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

3

，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證兩切線斜率之積為定值．

Answer 1

（Ⅰ）設橢圓半焦距為c，圓心O到l的距離d=

6

2

=

3

，
∴直線l被圓O截得的弦長為2

( 5 )2-( 3 )2

=2

5-3

=2

2

，
由2b=2

2

，解得b=

2

，
∵橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

3

，
∴

c

a

=

3

3

∴

a2-2

a2

=

1

3

，解得a²=3
∴橢圓E的方程為

y2

3

+

x2

2

=1；
（Ⅱ）證明：設P（x₀，y₀），過點P的橢圓E的切線l₀的方程為y-y₀=k（x-x₀）
與橢圓方程聯立，消去y可得（3+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（kx₀-y₀）²-6=0
∴△=[4k（y₀-kx₀）]²-4（3+2k²）[2（kx₀-y₀）²-6]=0
∴（2-x02）k²+2kx₀y₀-（y02-3）=0
設滿足題意的橢圓的兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，
∴k₁k₂=-

y02-3

2-x02

∵P在圓O上，∴x02+y02=5，
∴k₁k₂=-

y02-3

2-x02

=-1
∴兩切線斜率之積為定值-1．