2009年廣州市普通高中畢業班綜合測試（一）
數 學（理 科） 2009.3
本試卷共4頁，21小題， 滿分150分。 考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用2B鉛筆在“考生號”處填涂考生號，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的市、縣/區、學校，以及自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。
3. 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。
5．考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，將試卷和答題卡一并交回。
參考公式：
錐體的體積公式
, 其中
是錐體的底面積, 
是錐體的高.
如果事件
、
互斥，那么
.
如果事件、相互獨立，那么
.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．函數
的最小正周期為
A．
B.
C.
D.
2．已知
i（1
i）（i為虛數單位），則復數在復平面上所對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月2號9時至14時
的銷售額進行統計，其頻率分布直方圖如圖1所示．已知9時
至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為
A. 
萬元
B. 
萬元
C. 
萬元 D.
萬元
4．已知過
、
兩點的直線與直線
平行，
則
的值為
A. 
B.
C. 
D. 
若輸出的
的值等于
,那么在程序框圖中的判斷框內應填寫的條件是
A．
? B.
?
C. 
? D. 
?
6．已知
：關于
的不等式
的解集是R，
：
，則是的
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件
7．在
中，若
，則自然數
的值是
A．7
B．
8．在區間
上任意取兩個實數
，則函數
在區間
上有且僅
一個零點的概率為
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分.
（一）必做題（9～12題）
9. 若
，則
.
10．若
d=1, 則實數的值是
.
11.一個幾何體的三視圖及其尺寸（單位：cm）如圖3所示，
則該幾何體的側面積為
cm
.
12．已知數列
的前項和為
，對任意
N
都有
，
且
（
N），則
的值為 ，
的值為 .
（二）選做題（13～15題，考生只能從中選做兩題）
13．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，直線
被圓
截得的弦長為__
.
14.（幾何證明選講選做題）已知
是圓
（為圓心）的切線，切點為
，
交圓于
兩點，
，則線段
的長為
.
15．（不等式選講選做題）已知
R，且
，則實數的取值范圍為_____________．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.（本小題滿分12分）
已知△
的內角
所對的邊分別為
且
.
（1）若
, 求
的值;
(2) 若△的面積
求
的值.
17.（本小題滿分14分）
甲、乙兩名同學參加一項射擊游戲，兩人約定，其中任何一人每射擊一次，擊中目標得2分，未擊中目標得0分. 若甲、乙兩名同學射擊的命中率分別為
和, 且甲、乙兩人各射擊一次所得分數之和為2的概率為
.假設甲、乙兩人射擊互不影響.
（1）求的值；
（2）記甲、乙兩人各射擊一次所得分數之和為
，求的分布列和數學期望.
18. （本小題滿分14分）
如圖4, 在三棱錐
中，
平面，
,
分別是棱
的中點，連接
.
(1)
求證: 平面
平面;
(2) 若
, 當三棱錐的體積最大時,
求二面角
的平面角的余弦值.
圖4
19．(本小題滿分12分)
某車間有50名工人，要完成150件產品的生產任務，每件產品由3個型零件和1個
型零件配套組成.每個工人每小時能加工5個型零件或者3個型零件，現在把這些工人分成兩組同時工作(分組后人數不再進行調整)，每組加工同一種型號的零件.設加工型零件的工人人數為名（
N）.
（1）設完成型零件加工所需時間為
小時，寫出的解析式；
（2）為了在最短時間內完成全部生產任務，應取何值？
20．（本小題滿分14分）
已知動圓
過點
，且與圓
相內切.
（1）求動圓的圓心的軌跡方程；
（2）設直線
（其中
與（1）中所求軌跡交于不同兩點，D，與雙曲線
交于不同兩點
，問是否存在直線
，使得向量
，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．
21. (本小題滿分14分)
已知數列的相鄰兩項
是關于的方程
N
的兩根,且
.
(1) 求數列和
的通項公式;
(2) 設是數列的前項和, 問是否存在常數
,使得
對任意N都成立,若存在, 求出的取值范圍; 若不存在, 請說明理由.
2009年廣州市普通高中畢業班綜合測試（一）
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
D
A
C
B
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個空2分，第二個空3分．
9．
10．
11．
12．-1；4 13．
14．1 15. 
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數的基本關系等基礎知識，考查運算求解能力）
解: (1)∵
, 且
,
∴ 
.
由正弦定理得
.
∴
.
(2)∵
∴
.
∴ 
.
由余弦定理得
,
∴
.
17．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查概率、隨機變量的分布列及其數學期望等基礎知識，考查運算求解能力）
解：（1）記“甲射擊一次,擊中目標”為事件，“乙射擊一次,擊中目標”為事件，“甲射擊一次,
未擊中目標”為事件
，“乙射擊一次,未擊中目標”為事件
，
則
，
.
依題意得
，
解得
.
故
的值為
.
（2）
的取值分別為
.
，
，
，
的分布列為
0
2
4
18．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查空間中線面的位置關系、空間的角、幾何體體積等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）
(1)
證明: ∵
分別是棱
的中點，
∴
是△
的中位線.
∴
.
∵
平面
平面
∴
平面
.
同理可證 
平面.
∵
平面
,
平面,
∴平面// 平面
.
(2) 求三棱錐
的體積的最大值, 給出如下兩種解法:
解法1: 由已知
平面, 
,
∴
.
∴三棱錐的體積為
.
當且僅當
時等號成立，
取得最大值,其值為
, 此時
.
解法2：設
，在Rt△中，
.
∴三棱錐的體積為
.
∵
,
∴ 當
，即
時，取得最大值，其值為，此時
.
求二面角
的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法:
解法1:作
,垂足為
, 連接
.
∵ 平面，平面
平面,
∴ 平面.
∵ 
平面,
∴ 
.
∵ 
,
∴ 
平面
.
∵
平面,
∴.
∴ 
是二面角的平面角.
在Rt△
中,
,
∴
.
在Rt△
中,
,
.
∴二面角的平面角的余弦值為
.
解法2:分別以
所在直線為
軸, 
軸, 
軸,建立如圖的空間直角坐標系
,
則
.
∴
.
設n
為平面
的法向量,
∴
即
令, 則
.
∴
為平面的一個法向量.
∵平面的一個法向量為
,
∴
.
∴二面角的平面角的余弦值為
.
19．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查函數最值、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查分類與整合的數學思想方法，以及運算求解能力和應用意識）
解：（1）生產150件產品，需加工型零件450個，
則完成型零件加工所需時間
N
，且
.
（2）生產150件產品，需加工型零件150個，
則完成型零件加工所需時間
N，且.
設完成全部生產任務所需時間為
小時，則為與的較大者.
令
，即
，
解得
.
所以，當
時，
；當
時，
.
故
.
當時，
，故在
上單調遞減，
則在
上的最小值為
（小時）；
當時，
，故在
上單調遞增，
則在上的最小值為
（小時）；
，
在
上的最小值為
.
.
答：為了在最短時間內完成生產任務，應取
.
20．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎知識和數學探究，考查數形結合、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識）
解：（1）圓
， 圓心
的坐標為
，半徑
.
∵
，
∴點
在圓內.
設動圓
的半徑為
，圓心為，依題意得
，且
，
即
.
∴圓心的軌跡是中心在原點，以
兩點為焦點，長軸長為
的橢圓,設其方程為
, 則
.
∴
.
∴所求動圓的圓心的軌跡方程為
.
(2)由
消去化簡整理得：
.
設
，
，則
.
△
. ①
由
消去化簡整理得：
.
設
，則
,
△
. ②
∵
，
∴
，即
，
∴
.
∴
或
.
解得
或
.
當時,由①、②得 
，
∵
Z,
∴
的值為
，
，
;
當，由①、②得 
，
∵
Z,
∴
.
∴滿足條件的直線共有9條．
21．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查數列的通項公式、數列前
項和、不等式等基礎知識，考查化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和抽象概括能力）
解: (1) ∵
是關于的方程
N
的兩根,
∴
求數列
的通項公式, 給出如下四種解法:
解法1: 由
,得
,
故數列
是首項為
,公比為
的等比數列.
∴
, 即
.
解法2: 由,兩邊同除以
, 得
,
令
, 則
.
故
.
且
也適合上式,
∴
, 即.
解法3： 由，得
，
兩式相減得
.
當為正奇數時,
.
且
也適合上式.
當為正偶數時,
.
且
也適合上式.
∴
當
N時，
.
解法4：由，，得
，
.
猜想.
下面用數學歸納法證明猜想正確.
① 當
時,易知猜想成立;
② 假設當
N)時,猜想成立,即
,
由
,得
,
故當
時,猜想也成立.
由①、②得，對任意N，.
∴
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