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2009屆高考數學壓軸題系列訓練含答案及解析詳解四

1（本小題滿分14分）

     已知f(x)=(x∈R)在區間[－1，1]上是增函數.

（Ⅰ）求實數a的值組成的集合A；

（Ⅱ）設關于x的方程f(x)=的兩個非零實根為x₁、x₂.試問：是否存在實數m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

本小題主要考查函數的單調性，導數的應用和不等式等有關知識，考查數形結合及分類討論思想和靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力.滿分14分.

解：（Ⅰ）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函數，

∴f＇(x)≥0對x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0對x∈[－1，1]恒成立.        ①

設(x)=x²－ax－2，

方法一：

           (1)=1－a－2≤0，

①           －1≤a≤1，

               (－1)=1+a－2≤0.

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f＇(-1)=0以及當a=－1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.      方法二：

       ≥0，                   <0，

①                     或

           (－1)=1+a－2≤0          (1)=1－a－2≤0

       0≤a≤1         或       －1≤a≤0

       －1≤a≤1.

∵對x∈[－1，1]，f(x)是連續函數，且只有當a=1時，f＇(－1)=0以及當a=-1時，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.

（Ⅱ）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的兩非零實根，

             x₁+x₂=a，

∴          從而|x₁－x₂|==.

x₁x₂=－2，

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0對任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

設g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

     g(－1)=m²－m－2≥0，

②  

         g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

當m=0時，②顯然不成立；

當m≠0時，

      m>0，                m<0，

②                  或

       g(－1)=m²－m－2≥0      g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在實數m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤－2}.

2．（本小題滿分12分）

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.

（Ⅰ）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；

（Ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.

本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.滿分12分.

解：（Ⅰ）設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，依題意x₁≠0，y₁>0，y₂>0.

由y=x²，           ①

得y＇=x.

∴過點P的切線的斜率k_切= x₁，

∴直線l的斜率k_l=－=-，

∴直線l的方程為y－x₁²=－ (x－x₁)，

方法一：

聯立①②消去y，得x²+x－x₁²－2=0.

∵M是PQ的中點

           x₀==-，

∴

            y₀=x₁²－(x₀－x₁).

消去x₁，得y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中點M的軌跡方程為y=x²++1(x≠0).

方法二：

由y₁=x₁²，y₂=x₂²，x₀=，

得y₁－y₂=x₁²－x₂²=(x₁+x₂)(x₁－x₂)=x₀(x₁－x₂)，

則x₀==k_l=-，

∴x₁=－，

將上式代入②并整理，得

y₀=x₀²++1(x₀≠0)，

∴PQ中點M的軌跡方程為y=x²++1(x≠0).

（Ⅱ）設直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).

分別過P、Q作PP＇⊥x軸，QQ＇⊥y軸，垂足分別為P＇、Q＇，則

.

            y=x²

由    消去x，得y²－2(k²+b)y+b²=0.      ③

                     y=kx+b

          y₁+y₂=2(k²+b)，

則

            y₁y₂=b².

方法一：

∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.

∵y₁、y₂可取一切不相等的正數，

∴的取值范圍是（2，+）.

方法二：

∴=|b|=|b|.

當b>0時，=b==+2>2；

當b<0時，=－b=.

又由方程③有兩個相異實根，得△=4(k²+b)²-4b²=4k²(k²+2b)>0，

于是k²+2b>0，即k²>－2b.

所以>=2.

∵當b>0時，可取一切正數，

∴的取值范圍是（2，+）.

方法三：

由P、Q、T三點共線得k_TQ=K_TP，

即=.

則x₁y₂－bx₁=x₂y₁－bx₂，即b(x₂－x₁)=(x₂y₁－x₁y₂).

于是b==－x₁x₂.